Analysis

46 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
durchaus begriffliche Schwierigkeiten mit sich bringt: Zum Beispiel darf die
Gesamtheit M aller Mengen nicht als Menge angesehen werden, da wir sonst
die“Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten”, gegeben
durch die formelhafte Beschreibung N = {A ∈ M | A ∈ A}, bilden könnten.
Für diese Menge kann aber weder N ∈ N noch N ∈ N gelten . . . Diese
Art von Schwierigkeiten kann erst ein formalerer Zugang klären und auflösen,
bei dem man unsere naiven Vorstellungen durch Ketten von Zeichen aus
einem wohlbestimmten endlichen Alphabet ersetzt und unsere Vorstellung
von Wahrheit durch die Verifizierbarkeit vermittels rein algebraischer “erlaubter
Manipulationen” solcher Zeichenketten, die in “Axiomen” festgelegt
werden. Diese Verifikationen kann man dann durchaus auch einer Rechenmaschine
überlassen, so daß wirklich auf “objektivem” Wege entschieden werden
kann, ob ein “Beweis” für die “Richtigkeit” einer unserer Zeichenketten in
einem vorgegebenen axiomatischen Rahmen stichhaltig ist. Allerdings kann
in derartigen Systemen von einer Zeichenkette algorithmisch nur entschieden
werden, ob sie eine “sinnvolle Aussage” ist, nicht aber, ob sie “bewiesen” werden
kann. Noch viel stärker zeigt der Unvollständigkeitssatz von Gödel, daß
es in einem derartigen axiomatischen Rahmen, sobald er reichhaltig genug ist
für eine Beschreibung des Rechnens mit natürlichen Zahlen, stets sinnvolle
Aussagen gibt derart, daß entweder sowohl die Aussage als auch ihre Verneinung
oder aber weder die Aussage noch ihre Verneinung bewiesen werden
können. Mit diesen und ähnlichen Fragestellungen beschäftigt sich die Logik.
2.1.25. Um mich nicht dem Vorwurf auszusetzen, während des Spiels die
Spielregeln ändern zu wollen, sei bereits hier erwähnt, daß in ?? noch weitere
wichtige Konstruktionen der Mengenlehre eingeführt werden, und daß in ??
einige weniger offensichtliche Folgerungen erläutert werden, die meines Erachtens
bereits an den Rand dessen gehen, was man in unserem informellen
Rahmen der naiven Mengenlehre als Argumentation noch vertreten kann. In
?? wird dann erst die Konstruktion der natürlichen Zahlen im Rahmen der
Mengenlehre diskutiert. Sicher ist es in gewisser Weise unbefriedigend, das
Fundament des Hauses der Mathematik erst vollständig zu gießen, wenn das
Haus bereits steht und bewohnt ist. Andererseits will ich aber auch vermeiden,
daß Sie mir auf einem prächtigen Fundament jämmerlich erfrieren.
2.2 Abbildungen
Definition 2.2.1. Seien X, Y Mengen. Eine Abbildung f : X → Y ist eine
Zuordnung, die jedem Element x ∈ X genau ein Element f(x) ∈ Y zuordnet,
das Bild von x unter f, auch genannt der Wert von f an der Stelle x. Man
spricht dann auch vom Auswerten der Funktion f an der Stelle x oder vom
Einsetzen von x in f.