Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1433
und das Vorschalten der Überlagerungsabbildung liefert offensichtlich einen
Körperhomomorphismus
M an (C) ◦p
↩→ M an (X)
Proposition 5.1.19 (Körpererweiterungen durch Überlagerungen).
Gegeben eine zusammenhängende n-blättrige Überlagerung des Komplements
C\P einer endlichen Teilmenge P der Riemann’schen Zahlenebene ist der
Unterkörper
M(X) ⊂ M an (X)
der über C(T ) algebraischen meromorphen Funktionen auf X eine endliche
Körpererweiterung von C(T ) vom Grad n. Umgekehrt erhalten wir auf diese
Weise auch alle endlichen Körpererweiterungen von C(T ).
5.1.20. Es wird sich später herausstellen, daß der Teilkörper
M(X) ⊂ M an (X)
wie in dieser Notation bereits vorweggenommen nur von der Riemann’schen
Fläche X abhängt und nicht von der Wahl einer Überdeckungsabbildung
X → C\P.
Beweis. Wir beginnen mit dem Fall n = 1. Der Körper der rationalen Funktionen
C(T ) ⊂ M an (C\P ) besteht nach 2.1.11 genau aus den meromorphen
Funktionen f auf C\P, für die es ein N ≥ 1 gibt derart, daß für alle a ∈ P
das Produkt (z − a) N f(z) beschränkt ist im Schnitt einer Umgebung von a
mit C\P, und daß z −N f(z) außerhalb eines Kompaktums beschränkt ist. Da
nach ?? der Betrag der Nullstellen eines normierten komplexen Polynoms
abgeschätzt werden kann durch die Summe der Beträge der Koeffizienten,
müssen alle über C(T ) algebraischen Elemente von M an (C\P ) bereits zu
C(T ) gehören. Wir haben also M(C) = C(T ) und der Fall n = 1 ist erledigt.
Sei als nächstes p : X → C\P eine normale Überlagerung im Sinne von ??
und sei Γ ihre Gruppe von Decktransformationen. Offensichtlich liefert das
Vorschalten von p dann Isomorphismen
M an (C\P ) ∼ → M an (X) Γ
und M(C) ∼ → M(X) Γ
und nach dem allgemeinen Satz ?? der Galoistheorie ist M(X)/M(C) eine
endliche Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe Γ. Ist schließlich unsere Überlagerung
p : X → C\P nicht normal, so suchen wir uns mithilfe von ?? eine
normale Hülle ˜ X ↠ X und betrachten den Körperturm
M(C) ⊂ M(X) ⊂ M( ˜ X)