Analysis

518 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Übung 6.1.31. In einem metrischen Raum mit einer abzählbaren dichten Teilmenge
erzeugen die offenen Bälle bereits die σ-Algebra der Borelmengen.
Übung 6.1.32. Konstruieren Sie in R eine offene dichte Teilmenge von endlichem
Lebesguemaß.
Ergänzende Übung 6.1.33. Sei X ein Meßraum und µi eine Folge von endlichen
Maßen derart, daß für jedes meßbare A ⊂ X die Folge der µi(A)
monoton wachsend und beschränkt ist. So wird durch die Formel µ(A) =
limi→∞ µi(A) ein weiteres Maß auf X erklärt.
6.2 Konstruktion des Lebesguemaßes auf R
Definition 6.2.1. Ein System von Teilmengen einer gegebenen Menge heißt
ein Mengenring genau dann, wenn es stabil ist unter dem Bilden von endlichen
Vereinigungen und von Differenzmengen. In Formeln ausgedrückt ist
ein System von Teilmengen A ⊂ P(X) einer Menge X also ein Mengenring
genau dann, wenn gilt:
1. ∅ ∈ A;
2. A, B ∈ A ⇒ (A ∪ B) ∈ A;
3. A, B ∈ A ⇒ (B\A) ∈ A.
6.2.2. Daß unsere Definition in Worten und unsere Definition in Formeln
gleichbedeutend sind, erkennt man wie in 6.1.3. Ein Mengensystem A ⊂
P(X) ist eine Mengenalgebra genau dann, wenn A ein Mengenring ist und
wenn zusätzlich gilt X ∈ A.
Ergänzung 6.2.3. Identifiziert man P(X) mit der Menge Ens(X, F2) aller Abbildungen
von X in den zweielementigen Körper, indem man jeder Menge die
Funktion zuordnet, die auf unserer Menge den Wert Eins annimmt und außerhalb
den Wert Null, so entsprechen unsere Mengenringe A ⊂ P(X) genau
den “nicht-unitären Teilringen” oder in unserer Terminologie Teilrngen von
Ens(X, F2) unter der punktweisen Addition und Multiplikation, und unsere
Mengenalgebren entsprechen den “unitären Teilringen”, die wir in unserer
Terminologie ?? schlicht Teilringe nennen.
Übung 6.2.4. Gegeben Mengen X und Y sowie Mengenringe A ⊂ P(X) und
B ⊂ P(X) ist auch das System aller endlichen Vereinigungen von paarweise
disjunkten Mengen der Gestalt A × B mit A ∈ A und B ∈ B ein Mengenring
in P(X × Y ).