Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 295
Definition 7.6.11. Der Sinus wächst streng monoton auf [−π/2, π/2] und
definiert folglich eine Bijektion sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1], deren Umkehrabbildung
man auch den Arcussinus nennt und notiert als
arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
7.6.12. Die Bezeichnung “arcussinus” kommt von lateinisch “arcus” für “Bogen”.
In der Tat bedeutet arcsin b für b ∈ [0, 1] die Länge des Kreisbogens,
der vom Punkt (1, 0) bis zum Punkt ( √ 1 − b 2 , b) der Höhe b auf dem Einheitskreis
reicht, wie der Leser zur Übung nachrechnen mag. Der Arcussinus
ist nach 4.2.9 differenzierbar auf (−1, 1) und seine Ableitung ergibt sich mit
unserer Regel für die Ableitung einer Umkehrfunktion zu
arcsin ′ (x) = 1/(cos(arcsin x))
= 1/ 1 − sin 2 (arcsin x)
= 1/ √ 1 − x 2
Damit ergibt sich die Reihenentwicklung
arcsin(x) = x +
k=0
1 · x3
2 · 3
+ 1 · 3 · x5
2 · 4 · 5
+ . . . ∀x ∈ (−1, 1)
In der Tat gilt arcsin(x) = x
0 (1−t2 ) −1/2 dt, und nach der binomischen Reihe
5.1.19 haben wir
(1 − t 2 ) −(1/2) ∞
−1/2
=
(−t
k
2 ) k = 1 + 1
2 t2 1 · 3
+
2 · 4 t4 + . . .
7.6.13. Analog fällt der Cosinus streng monoton auf dem Intervall [0, π] und
definiert folglich eine Bijektion cos : [0, π] ∼ → [−1, 1], deren Umkehrabbildung
der Arcuscosinus heißt und arccos notiert.
Definition 7.6.14. Für alle x ∈ R mit cos x = 0 definieren wir den Tangens
von x durch
sin x
tan x =
cos x
7.6.15. Anschaulich bedeutet tan(x) für x ∈ (0, π/2) die Höhe, in der der
Strahl durch den Nullpunkt und den Punkt des Einheitskreises, der mit dem
Punkt (1, 0) ein Kreissegment der Länge x begrenzt, die Tangente an unseren
Einheitskreis im Punkt (1, 0) trifft. Man benutzt auch den Cotangens
cot(x) = cos(x)/ sin(x) und eher selten den Secans sec(x) = 1/ cos(x) und
Cosecans cosec(x) = 1/ sin(x).