Analysis

64 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
3.1.10. Sei (A, ⊤) eine Menge mit assoziativer Verknüpfung. Sind m, n zwei
von Null verschiedene natürliche Zahlen, so erhalten wir mithilfe unseres
Lemmas 3.1.6 zur Überflüssigkeit von Klammern bei assoziativen Verknüpfungen
die Regeln (n + m) ⊤ a = (n ⊤ a)⊤(m ⊤ a) und (nm) ⊤ a = n ⊤ (m ⊤ a). Ist
unsere Verknüpfung auch noch kommutativ, so gilt zusätzlich n ⊤ (a⊤b) =
(n ⊤ a)⊤(n ⊤ b).
3.1.11. Sei (A, ⊤) eine Menge mit Verknüpfung. Eine Teilmenge B ⊂ A heißt
abgeschlossen unter der Verknüpfung genau dann, wenn aus a, b ∈ B
folgt a⊤b ∈ B. Natürlich ist in diesem Fall auch (B, ⊤) eine Menge mit
Verknüpfung, man spricht dann von der auf B induzierten Verknüpfung.
Zum Beispiel ist N ⊂ Z abgeschlossen unter der Addition, aber Z=0 ⊂ Q=0
ist nicht abgeschlossen unter der durch die Division gegebenen Verknüpfung
(a, b) ↦→ a/b.
Definition 3.1.12. Sei (A, ⊤) eine Menge mit Verknüpfung. Ein Element
e ∈ A heißt neutrales Element von (A, ⊤) genau dann, wenn gilt
e⊤a = a⊤e = a ∀a ∈ A
3.1.13 (Eindeutigkeit neutraler Elemente). In einer Menge mit Verknüpfung
(A, ⊤) kann es höchstens ein neutrales Element e geben, denn für jedes
weitere Element e ′ mit e ′ ⊤a = a⊤e ′ = a ∀a ∈ A haben wir e ′ = e ′ ⊤e = e.
Wir dürfen also den bestimmten Artikel verwenden und in einer Menge mit
Verknüpfung von dem neutralen Element reden.
Definition 3.1.14. Ein Monoid ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung,
in der es ein neutrales Element gibt. Ist (A, ⊤) ein Monoid, so erweitern
wir unsere Notation n ⊤ a aus 3.1.9 auf alle natürlichen Zahlen n ∈ N,
indem wir 0 ⊤ a als das neutrale Element von A verstehen, für alle a ∈ A.
3.1.15. Das Wort “Monoid” ist wohl von griechisch “µoνoς” für “allein” abgeleitet:
Ein Monoid besitzt nur eine einzige Verknüpfung.
3.1.16. In Monoiden gelten die Regeln 3.1.10 für alle n, m ∈ N. Die natürlichen
Zahlen bilden mit der Addition ein Monoid (N, +) mit neutralem
Element 0, und mit der Multiplikation ein Monoid (N, ·) mit neutralem Element
1. Für jede Menge X ist die Menge Ens(X) der Abbildungen von X in
sich selbst ein Monoid mit neutralem Element idX. Die leere Menge ist kein
Monoid, ihr fehlt das neutrale Element.
3.1.17. Notiert man in einem Monoid die Verknüpfung mit dem Symbol +, so
notiert man das neutrale Element meist mit 0 und spricht von einem additiv
notierten Monoid. Nur kommutative Monoide werden additiv notiert.