Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1317
Intervalle für v ∈ B. Nach Tychonoff ist dies Produkt kompakter Intervalle
und damit der Abschluß von K in unserem Produkt kompakt und es
bleibt zu zeigen, daß K abgeschlossen ist in . Diejenigen Tupel aus , die
lineare Abbildungen darstellen, bilden aber eine abgeschlossene Teilmenge
von , als Schnitt der Urbilder der Null unter den stetigen R-wertigen Abbildungen
hx,y : → R, (av)v∈V ↦→ (ax + ay − ax+y) und gλ,x : → R,
(av)v∈V ↦→ (λax − aλx) für alle x, y ∈ V und λ ∈ R. Folglich besteht der
Abschluß von K aus linearen Abbildungen. Weiter liegt der Abschluß von K
in unserem Produkt kompakter Intervalle, folglich sind alle Abbildungen aus
dem Abschluß von K beschränkt durch Eins auf B und damit stetig. Also
ist K sein eigener Abschluß.
Beispiel 4.15.7 (Ein kompakter nicht folgenkompakter Raum). Wir
betrachten den Raum Cb(R, R) aller beschränkten stetigen reellwertigen Funktionen
auf der reellen Zahlengeraden mit der Norm der gleichmäßigen Konvergenz.
Der Einheitsball in seinem Dualraum ist überdeckungskompakt in
der schwach-∗-Topologie nach dem Satz von Alaoglu-Bourbaki 4.15.6. Er ist
jedoch nicht folgenkompakt, zum Beispiel bilden die Auswertungen an den
natürlichen Zahlen eine Folge ohne konvergente Teilfolge.
Lemma 4.15.8. Besitzt ein topologischer Vektorraum eine abzählbare dichte
Teilmenge, so ist in seinem topologischen Dualraum mit der schwach-∗-
Topologie jedes Kompaktum K metrisierbar.
Beweis. Sei V unser topologischer Vektorraum. Gegeben eine dichte Teilmenge
D ⊂ V zeigen wir zunächst, daß die Auswertungsabbildungen an Vektoren
v ∈ D bereits die schwach-∗-Topologie auf unserem Kompaktum K erzeugen.
In der Tat landen besagte Auswertungsabbildungen av in kompakten
Teilmengen Bv ⊂ R und liefern zusammen eine stetige Abbildung
K →
v∈D
die für dichtes D sogar injektiv sein muß und die nach VI.3.3.10 als stetige
Injektion eines kompakten Raums in einen Hausdorffraum einen Homöomorphismus
auf ihr Bild induziert. Ist D abzählbar, so ist K dann metrisierbar
als Unterraum eines abzählbaren Produkts metrischer Räume nach Übung
VI.3.6.23.
Lemma 4.15.9. Ist X ein kompakter metrischer Raum, so besitzt C(X, R)
eine abzählbare dichte Teilmenge.
Bv