Analysis

366 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Übung 1.4.10. Sei inv : GL(n; R) → Mat(n × n; R) das Invertieren von Matrizen,
inv(X) = X −1 . Man zeige für das Differential des Invertierens bei
der Einheitsmatrix I die Formel dI inv : H ↦→ −H. Man zeige allgemeiner,
daß das Differential dieser Abbildung am Punkt P in Verallgemeinerung der
Ableitungsregel für x ↦→ 1/x gegeben wird durch
dP inv : Mat(n × n; R) → Mat(n × n; R)
H ↦→ −P −1 HP −1
Hinweis: Man zeige erst, daß inv differenzierbar ist. Dann nehme man in der
Gleichung inv(X)X = I auf beiden Seiten das Differential an der Stelle P.
Übung 1.4.11. Gegeben ein Banachraum V bilden die invertierbaren Elemente
von B(V ) eine offene Teilmenge und das Invertieren ist darauf differenzierbar
mit Differential dP inv : H ↦→ −P −1 HP −1 . Hinweis: Man beachte, daß
für alle Endomorphismen von V der Norm < 1 gilt
(I − H)(I + H + H 2 + H 3 . . .) = I
wobei II.7.5.9 und II.7.5.11 die Konvergenz sicherstellen. Diese Übung verallgemeinert
die vorhergehende Übung 1.4.10. Wir werden dies Resultat noch in
5.4.8 im Zusammenhang mit Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen
brauchen.
Ergänzende Übung 1.4.12. Sei B ∈ Mat(n × n; R) fest. Das Differential der
Abbildung ψ : GL(n; R) → Mat(n × n; R) gegeben durch A ↦→ ABA −1 bei
der Einheitsmatrix ist die lineare Abbildung H ↦→ HB − BH.
Ergänzende Übung 1.4.13. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
V und W ⊂ End V ein Untervektorraum seines Endomorphismenraums,
der aus paarweise kommutierenden Abbildungen besteht, zeige man
für das Differential von exp : W → End V bei A ∈ W die Formel dA exp =
(· exp A) : W → End V. Idem für V ein Banachraum und B(V ) statt End V.
Eine allgemeine Formel für das Differential von exp : End V → End V wird
in 2.1.15 diskutiert.
Ergänzende Übung 1.4.14. Sei V ein Banachraum und A ∈ B(V ) ein stetiger
Endomorphismus von V der Norm A < 1. Man zeige, daß das formale
Einsetzen von A in die Taylorreihe von log(1 + x), als da heißt, die Reihe
A − A2 A3
+ − . . .
2 3
gegen einen Endomorphismus B ∈ B(V ) mit der Eigenschaft exp(B) = I +A
konvergiert. Hinweis: Man berechne unter Verwendung von 1.4.13 die Ableitung
der Abbildung f : t ↦→ exp (tA − t2A2 2 + t3A3 − . . .) und die Ableitung
3
der Abbildung t ↦→ f(t)(I + tA) −1 und zeige, daß letztere Funktion konstant
ist. Ein besser verallgemeinerbares Argument findet man in VIII.1.7.17.