Analysis

3. VERSCHIEDENE WEITERFÜHRENDE RESULTATE 1397
als da heißt, das komplex Konjugierte unseres Bruches ist gerade das Negative
unseres Bruches. Lassen wir aber z aus dem Inneren der Einheitskreisscheibe
radial gegen w laufen, also z = λw mit λ ↗ 1 für λ ∈ R, so erhalten wir
P (w, λw) =
λ + 1
λ − 1
→ ∞
Anschaulich mag man für festes w ∈ S 1 die Funktion z ↦→ P (w, z) auf
der offenen Einheitskreisscheibe verstehen als diejenige geeignet normalisierte
Wärmeverteilung, die sich einstellt, wenn man “den Punkt w sehr heiß macht
und den ganzen übrigen Rand S 1 auf Temperatur Null hält”. Die Niveaulinien
dieser Funktion sind übrigends Kreise, die den Einheitskreis in w berühren,
wie zum Beispiel aus ?? folgt.
Beweis mit Stone-Weierstraß. Für festes z mit |z| < 1 finden wir in Erinnerung
an das Ende des Beweises von 3.1.11 und durch Vertauschen des
Integrals mit der gleichmäßig konvergenten Summe
2π
1
P (e
2π 0
it , z) dt = Re 1
2π
2π 0
1 + 2
∞
ν=1
e −iνt z ν
dt = Re 1
2π
1 dt = 1
2π 0
Definieren wir also für h : S1 → R seine Poisson-Transformierte ˜ h auf der
offenen Einheitskreisscheibe durch
˜h(z) = 1
2π
2π
0
h(e it )P (e it , z) dt
so gilt für das Supremum der Funktionswerte von ˜ h auf der offenen Einheitskreisscheibe
die Abschätzung ˜ h∞ ≤ h∞. Konvergiert eine Folge stetiger
Funktionen gn auf dem Einheitskreis S 1 gleichmäßig gegen h, so konvergieren
demnach ihre Poisson-Transformierten ˜gn auf der offenen Einheitskreisscheibe
D ◦ gleichmäßig gegen ˜ h. Definieren wir also
Top(S 1 , R) → Ens(D, R)
h ↦→ ˆ h
durch ˆ h(z) = ˜ h(z) für |z| < 1 und ˆ h(z) = h(z) für |z| = 1, so wird eine
gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen auf dem Einheitskreis
unter h ↦→ ˆ h zu einer gleichmäßig konvergenten Folge von Funktionen auf der
abgeschlossenen Einheitskreisscheibe. Für h : S1 → R ein trigonometrisches
Polynom h(z) = c0 + N ν=1 cνz ν + ¯cν ¯z ν wird aber ˆ h nach den Argumenten aus
3.1.11 schlicht gegeben durch dieselbe Formel auf der ganzen abgeschlossenen
Einheitskreisscheibe und ist insbesondere stetig. Indem wir ein beliebiges