Analysis

96 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
1.3 Angeordnete Körper
Definition 1.3.1. Ein angeordneter Körper ist ein Körper (K, +, ·) mit
einer Anordnung ≤, die mit der Körperstruktur verträglich ist in dem Sinne,
daß gilt
1. x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀x, y, z ∈ K;
2. (x ≥ 0 und y ≥ 0) ⇒ xy ≥ 0 ∀x, y ∈ K.
Die Elemente x ∈ K mit x > 0 bzw. x < 0 nennt man positiv bzw. negativ.
Die Elemente mit x ≥ 0 bzw. x ≤ 0 nennt man folgerichtig nichtnegativ
bzw. nichtpositiv.
Beispiel 1.3.2. Der Körper Q der rationalen Zahlen ist mit seiner üblichen
Anordnung ein angeordneter Körper. Dasselbe wird auch für den Körper R
der reellen Zahlen gelten, den wir bald einführen werden.
Ergänzung 1.3.3. Für diejenigen Leser, die bereits das Konzept eines Rings
kennen, sei angefügt, daß man in derselben Weise einen angeordneten Ring
erklärt. In diesem Sinne ist dann etwa Z ein angeordneter Ring.
Lemma 1.3.4. In jedem angeordneten Körper gilt:
1. (x ≤ y und a ≤ b) ⇒ (x + a ≤ y + b);
2. (x ≤ y und a ≥ 0) ⇒ (ax ≤ ay);
3. (0 ≤ x < y und 0 ≤ a < b) ⇒ (0 ≤ xa < yb);
4. (x ≤ y) ⇒ (−y ≤ −x);
5. (x ≥ y und a ≤ 0) ⇒ (ax ≤ ay);
6. (x = 0) ⇒ (x 2 > 0);
7. 1 > 0;
8. (x > 0) ⇒ (x −1 > 0);
9. (0 < x ≤ y) ⇒ (0 < y −1 ≤ x −1 ).
Beweis. 1. In der Tat folgt x + a ≤ y + a ≤ y + b.
2. In der Tat folgt 0 ≤ y − x, also 0 ≤ a(y − x) = ay − ax und damit dann
ax ≤ ay.
3. In der Tat erhalten wir 0 ≤ xa ≤ ya < yb.