Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 663
Beweis. Für eine Funktion aus dem Schwartzraum f ∈ S finden wir nach
2.1.10 und Proposition 2.1.6 induktiv, daß f ∧ beliebig stetig partiell differenzierbar
ist und daß für alle Multiindizes α, β gilt
(∂ β x α f) ∧ = i |β|+|α| y β ∂ α f ∧
Die Fouriertransformierten integrierbarer Funktionen sind aber nach 2.1.6.1
stets beschränkt, und damit gehört f ∧ auch zum Schwartzraum.
2.1.13. Bezeichnet F : S → S die Fouriertransformation auf dem Schwartzraum
und τa die Verschiebung wie in 1.5.7, also (τaf)(x) = f(x−a), so liefert
die Proposition 2.1.6 uns damit vier kommutative Diagramme
S F → S
τb ↓ − i b·y ↓ e
S F → S
S F → S
xν ↓ ↓ i ∂
∂yν
S F → S
S F → S
e i a·x ↓ ↓ τa
S F → S
∂
∂xν
S F → S
↓ ↓ i yν
S F → S
Steht hier neben einem vertikalen Pfeil eine Funktion, so ist wieder die durch
Multiplikation mit besagter Funktion gegebene Abbildung S → S gemeint,
im Fall des vertikalen Pfeils links unten also die Abbildung f ↦→ xνf, wobei
xνf die Funktion meint mit den Werten (xνf)(x1, . . . , xn) = xνf(x1, . . . , xn).
Die Fouriertransformation verwandelt nach den unteren Diagrammen insbesondere
partielles Ableiten in algebraische Operationen. Eine beliebte Anwendung
ist denn auch das Lösen von Differentialgleichungen. Im Übrigen wird
die Inversionsformel 2.1.18 zwei unserer vier Diagramme überflüssig machen.
2.1.14. Für alle f ∈ L 1 gilt mit der Notation II.6.6.15 sogar die Formel
limy→∞ f ∧ (y) = 0. Für f ∈ C ∞ c folgt das bereits aus 2.1.12. Für beliebiges
f ∈ L 1 und ε > 0 finden wir nach 1.5.1 ein g ∈ C ∞ c mit f − g1 < ε und
damit folgt dann sofort |f ∧ (y) − g ∧ (y)| < ε ∀ y. So erhalten wir unsere
Aussage für beliebiges integrierbares f. Gegeben ein topologischer Raum X
bezeichnet man ganz allgemein mit
C0(X) := {f ∈ C(X) | ∀ε > 0∃Kε ⊂ X kompakt mit (x ∈ Kε ⇒ |f(x)| < ε)}
die Menge der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen.
Mit dieser Notation liefert unsere Fouriertransformation eine Abbildung
L 1 → C0. Anschaulich mag man das etwa im Fall n = 1 wie folgt verstehen: