Analysis

1100 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
11.10.7. Die Notation VK kann alternativ auch den Raum der “Koinvarianten”
unter der Operation von K auf V bedeuten. Welche Bedeutung jeweils
gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschließen. In 10.5.4 hatten wir
gezeigt, daß die K-endlichen Vektoren der rechtsregulären Darstellung einer
Gruppe K mit den K-endlichen Vektoren der linksregulären Darstellung zusammenfallen
und hatten diese Funktionen auf unserer Gruppe die “darstellenden
Funktionen” genannt. In 10.5.5 hatten wir Analoges für die stetigen
regulären Darstellungen einer topologischen Gruppe gezeigt.
Satz 11.10.8 (Dichtheit der K-endlichen Vektoren). In jeder von-Neumann-Darstellung
einer separablen kompakten Hausdorff’schen Gruppe K
liegen die K-endlichen Vektoren dicht.
Beweis. Sei V unsere Darstellung und w ∈ V ein Vektor und U ⊂ V eine
Umgebung der Null. Es gilt zu zeigen VK ∩ (w + U) = ∅. Wir wählen dazu
in V mithilfe von 11.10.5 eine abgeschlossene konvexe Umgebung C der Null
mit C + C ⊂ U. Sicher finden wir dann eine kompakte Umgebung Ω ⊂ K
des neutralen Elements mit Ωw ⊂ w + C und f : K → [0, ∞) stetig mit
supp f ⊂ Ω und fµ = 1 für µ das normierte Haar-Maß von K. Mit 11.8.10
folgt f ∗ w ∈ w + C. Nun ist Kw kompakt, folglich finden wir ε > 0 mit
εKw ⊂ C. Nach dem Satz von Peter und Weyl 10.9.7 gibt es für dieses ε eine
darstellende Funktion h : K → C mit h − f∞ < ε und folglich
h ∗ w ∈ f ∗ w + C ⊂ w + C + C ⊂ w + U
Dies h ∗ w ist dann der gesuchte K-endliche Vektor in w + U.
Korollar 11.10.9 (Irreduzible Darstellungen kompakter Gruppen).
Jede irreduzible von-Neumann-Darstellung einer separablen kompakten Hausdorff’schen
Gruppe ist endlichdimensional.
Beweis. Sei K unsere Gruppe und V unsere Darstellung. Nach 11.10.8 gibt
es in V einen von Null verschiedenen K-endlichen Vektor v und 〈Kv〉C ⊂ V
ist nach 11.1.12 abgeschlossen als endlichdimensionaler Teilraum eines Hausdorff’schen
topologischen Vektorraums. Aus der Irreduzibilität von V folgt
dann 〈Kv〉C = V .
Satz 11.10.10 (Induktion von von-Neumann-Darstellungen). Gegeben
ein stetiger Homomorphismus von lokal kompakten Gruppen macht der
zugehörige Induktionsfunktor von-Neumann-Darstellungen zu von-Neumann-
Darstellungen.
Beweis. Jeder abgeschlossene Untervektorraum eines von-Neumann-Raums
ist nach 11.8.3 ein von-Neumann-Raum. Der Satz folgt damit aus dem anschließenden
Lemma 11.10.11.