Analysis

1. KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 307
Im übrigen können wir mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion auch
leicht zeigen, daß es für jede komplexe Zahl z ∈ C ein w ∈ C gibt mit w 2 = z:
Wir dürfen ja ohne Beschränkung der Allgemeinheit z = 0 annehmen, dann
finden wir nach dem vorhergehenden ein a ∈ C mit z = exp(a), und tut es
w = exp(a/2).
1.1.7. Wir bestimmen mit dieser Erkenntnis die n-ten Einheitswurzeln,
als da heißt die komplexen Lösungen der Gleichung z n = 1. Nach 1.1.6 hat
jede Lösung die Gestalt z = e b für geeignetes b ∈ C und so ein z löst unsere
Gleichung genau dann, wenn gilt z n = e nb = 1 alias nb ∈ 2π i Z. Wir erhalten
so die Lösungen exp(2π i ν/n) für ν = 0, 1, . . . , n − 1 und erkennen auch, daß
sie paarweise verschieden sind und es keine anderen Lösungen geben kann.
In der komplexen Zahlenebene kann man sich die n-ten Einheitswurzeln veranschaulichen
als die Ecken desjenigen in den Einheitskreis einbeschriebenen
regelmäßigen n-Ecks, das als eine Ecke die 1 hat.
Ergänzung 1.1.8. Der Satz von Hermite-Lindemann sagt, daß für eine von
Null verschiedene im Sinne von II.2.4.2 algebraische komplexe Zahl α der
Wert der Exponentialfunktion exp(α) stets transzendent ist. Daraus folgt
sowohl, daß die Euler’sche Zahl e = exp(1) transzendent ist, als auch, daß
2π i und damit natürlich auch π transzendent sind, da nämlich exp(2π i) =
1 nicht transzendent ist. In etwas allgemeinerer Form sagt der Satz, daß
gegeben komplexe algebraische Zahlen α1, . . . , αn, die linear unabhängig sind
über Q, die Werte der Exponentialfunktion exp(α1), . . . , exp(αn) algebraisch
unabhängig sind über Q im Sinne von ??. Mehr dazu findet man etwa in
[Lor96]. Schanuels Vermutung, wie das zu verallgemeinern sein sollte, findet
man in ??.
Übung 1.1.9. Sei n ∈ N. Für jede komplexe Zahl a = 0 besitzt die Gleichung
z n = a genau n Lösungen z ∈ C.
Ergänzende Übung 1.1.10 (Nichtexistenz globaler komplexer Wurzeln).
Man zeige, daß es nicht möglich ist, in stetiger Weise zu jeder komplexen
Zahl eine Wurzel zu wählen, daß es also keine stetige Abbildung w : C →
C gibt mit w(z) 2 = z ∀z ∈ C. Hinweis: Man prüfe, daß die Funktion
w(exp(z)) exp(−z/2) einerseits konstant sein müßte, aber andererseits nicht
denselben Wert bei 0 und 2π i annehmen würde. Die anschauliche Bedeutung
der Aussage mag aus der graphischen Darstellung der Abbildung z ↦→ z 2 in
?? klar werden.
Ergänzende Übung 1.1.11 (Der goldene Schnitt im regelmäßigen Fünfeck).
In einem regelmäßigen Fünfeck stehen die Längen der Diagonalen zu
den Längen der Seiten im Verhältnis des goldenen Schnitts. Man prüfe diese
elementargeometrisch leicht einzusehende Behauptung durch algebraische