Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 949
Ergänzung 6.4.5. In der Literatur trifft man statt endlichen Gitterspiegelungsgruppen
mit stabiler Wurzelwahl meist das äquivalente Konzept eines
Wurzeldatums an. Darunter versteht man ein Datum
(X, R, X ∨ , R ∨ , φ, τ)
bestehend aus zwei Gittern X, X ∨ , einer bilinearen Abbildung φ : X ×X ∨ →
Z, die das eine Gitter mit dem Dualen des anderen identifiziert und üblicherweise
(λ, ν) ↦→ 〈λ, ν〉 notiert wird, sowie endlichen Teilmengen R ⊂ X und
R ∨ ⊂ X ∨ mitsamt einer Bijektion τ : R ∼ → R ∨ , die üblicherweise α ↦→ α ∨
notiert wird, so daß gilt 〈α, α ∨ 〉 = 2 ∀α ∈ R und β ∈ R ⇒ β − 〈β, α ∨ 〉α ∈ R
und β ∨ ∈ R ∨ ⇒ β ∨ − 〈α, β ∨ 〉α ∨ ∈ R ∨ und α ∈ R ⇒ 2α ∈ R und
α ∨ ∈ R ∨ ⇒ 2α ∨ ∈ R ∨ . Diese Begrifflichkeit hat den Vorteil, eine zusätzliche
Symmetrie sichtbar zu machen in dem Sinne, daß unmittelbar klar wird, was
unter dem dualen Wurzeldatum zu verstehen ist. Jedes derartige Wurzeldatum
liefert eine Gitterspiegelungsgruppe auf dem Gitter X mit Spiegelungen
λ ↦→ λ − 〈λ, α ∨ 〉α und stabiler Wurzelwahl R, und umgekehrt können
wir aus den Spiegelungen und Wurzeln R auch unschwer unser Wurzeldatum
zurückgewinnen.
Definition 6.4.6. Gegeben G ⊃ T eine kompakte Liegruppe mit einem
maximalen Torus definiert man das zugehörige Wurzelsystem
R = R(G, T ) ⊂ X(T )
als die Menge aller von Null verschiedenen Gewichte im Sinne von 2.4.12 der
komplexifizierten Liealgebra von G unter der adjungierten Operation von T .
Beispiel 6.4.7 (Wurzelsystem der unitären Gruppen). Wir besprechen
den Fall der unitären Gruppen G = U(n). Als maximalen Torus T können
wir nach 6.1.8 etwa die unitären Diagonalmatrizen nehmen. Eine Basis des
Charaktergitters X(T ) über Z bilden die εi : T → S 1 , die jeder unitären
diagonalen Matrix ihren i-ten Diagonaleintrag zuordnen, für 1 ≤ i ≤ n. Die
Operation der Weylgruppe auf dem Charaktergitter identifiziert unsere Weylgruppe
nach 6.3.6 mit der Gruppe aller Permutationen der εi und wir erhalten
so einen kanonischen Isomorphismus W ∼ → Sn. Die Einbettung Lie U(n) ↩→
M(n × n; C) führt zu einem Isomorphismus LieC U(n) ∼ → M(n × n; C) von
Liealgebren, etwa nach 2.1.26, da ja Lie U(n) die Fixpunktmenge einer schieflinearen
Involution auf M(n × n; C) ist. Als Wurzelsystem ergibt sich so die
Menge
R = {εi − εj | i = j}
und der zur Wurzel α = εi−εj gehörende Wurzelraum (LieC U(n)) α entspricht
unter unserer Identifikation mit den quadratischen Matrizen der Gerade CEij