Analysis

430 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Ihre partielle Ableitung nach xi ergibt sich zu
∂f
∂xi (p) = 1
0
= 1
0
= 1
0
∂
∂xi |x=p
n j=1
n
j=1 (uj ◦ (t·)) · xj
dt
t · ∂uj
∂xi (tp) · pj + ui(tp) dt
n ∂ui
j=1 t · ∂xj (tp) · pj + ui(tp) dt
= 1 d t · 0 dt (ui(tp)) + ui(tp) dt
= 1 d
0 dt (t · (ui(tp)) dt
= t · ui(tp) | 1 0
= ui(p)
und wir sehen, daß in der Tat gilt df = ω.
Konzeptioneller Beweis. Wir behandeln zunächst den Fall n = 2 als eigenständiges
Lemma.
Lemma 3.6.15. Ist A ⊂◦ R 2 eine ebene Kreisscheibe und ω darauf ein stetig
differenzierbares geschlossenes Kovektorfeld, so ist ω das Differential einer
Funktion f : A → R.
Beweis. Um Indizes zu vermeiden schreiben wir bei der Behandlung dieses
Spezialfalls (x, y) statt (x1, x2) in der Hoffnung, daß dies Einsparen von Indizes
mehr Klarheit schafft, als die Verwendung der Buchstaben x, y mit verschiedenen
Bedeutungen an Verwirrung erzeugt. Betrachten wir ein Rechteck
Q = [a, b] × [c, d] ⊂ A und integrieren unser Kovektorfeld einmal im Gegenuhrzeigersinn
auf dem Rand entlang, den wir parametrisieren als Weg ρ, so
erhalten wir
ρ ω = b
a u1(x, c) dx + d
c u2(b, y) dy − b
a u1(x, d) dx − d
c u2(a, y) dy
= d
b ∂u2 ∂u1 − dx dy
c a ∂x ∂y
Für ein stetig differenzierbares geschlossenes Kovektorfeld verschwindet also
das Wegintegral einmal um den Rand unseres Rechtecks und der “obere”
bzw. der “untere” Weg auf den Kanten des Rechtecks von einem Punkt zum
diagonal gegenüberliegenden Punkt liefern dasselbe Wegintegral. Halten wir
nun einen Punkt (p, q) ∈ A fest, so definiert dieses gemeinsame Wegintegral
eine Funktion
f(x, y) = x
p u1(t, q) dt + y
q u2(x, s) ds
= y
q u2(p, s) ds + x
p u1(t, y) dt