Analysis

1460 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
2. Eine nichtkonstante meromorphe Γ-periodische Funktion muss jeden
Wert, mit Vielfachkeiten gerechnet, gleich oft annehmen, und sie muß
jeden Wert mindestens zweimal oder einmal zweifach annehmen.
3. Die Summe der Residuen einer nichtkonstanten elliptischen Funktion
über alle Γ-Bahnen von Polstellen ist Null.
5.5.5. Eine nichtkonstante elliptische Funktion ist dasselbe wie ein nichtkonstanter
Morphismus von Riemann’schen Flächen C/Γ → P 1 C, anschaulich
gesprochen also eine ” verzweigte Überlagerung“. Da der Schwimmring C/Γ
nicht homöomorph ist zur Kugelschale P 1 C, kann solch ein Morphismus nicht
bijektiv sein, als da heisst, jeder Wert wird mit Vielfachkeiten gerechnet mindestens
zweimal angenommen.
Beweis. (1) Jede holomorphe Γ-periodische Funktion C → C ist beschränkt
und damit konstant nach 1.6.6. (3) Gegeben Erzeuger w1, w2 unseres Gitters
finden wir sicher p ∈ C derart, dass der Rand des Rechtecks p + [0, 1]w1 +
[0, 1]w2 keine Pole unserer Funktion trifft. Integrieren wir unsere Funktion f
oder präziser die 1-Form f(z) dz über den Rand dieses Rechtecks, so erhalten
wir Null, da sich wegen der Periodizität die Integrale über gegenüberliegende
Kanten jeweils aufheben. Der Residuensatz 2.2.9 zeigt dann die Behauptung.
(2) Wenden wir die eben gewonnene Erkenntnis an auf die Funktion f ′ /f,
deren Residuum bei p ja gerade die dortige Null- bzw. Polstellenordnung bei
p ist, in Formeln
Res (f ′ /f, p) = vp(f)
wie beim Beweis von 2.3.2, so folgt
p∈C/Γ vp(f) = 0, alias es gibt mit Vielfachkeiten
gerechnet ebensoviele Nullstellen wie Polstellen. Wenden wir diese
Erkenntnis auf die Funktionen f − c an mit c ∈ C, so folgt auch Teil 2 des
Satzes. Daß eine elliptische Funktion schließlich nicht nur einen einfachen Pol
in C/Γ haben kann, folgt auch sofort aus Teil 3.
Satz 5.5.6 (Abel). Sei Γ ⊂ C ein Gitter. Genau dann gibt es eine Γperiodische
Funktion mit vorgegebenen Nullstellen a1, . . . , an ∈ C/Γ und vorgegebenen
Polstellen b1, . . . , bn ∈ C/Γ, jeweils mit Vielfachheiten genommen,
wenn in C/Γ gilt
a1 + · · · + an = b1 + · · · + bn
5.5.7. Im Fall n = 1 folgt also a1 = b1, und da das absurd ist, gibt es keine
elliptische Funktion mit einer einzigen und einfachen Nullstelle. Wir sehen
so ein weiteres Mal, dass eine elliptische Funktion jeden Wert mindestens
doppelt annehmen muss.