Analysis

914 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
nun offensichtlich genau eine Vektorraumstruktur derart, daß für jede Orientierung
ε von V die Vorschrift v ↦→ [v, ε] ein Vektorraumisomorphismus
V ∼ → |V | ist, und damit haben wir bereits unseren Vektorraum |V | konstruiert.
Des weiteren erklären wir eine Abbildung V → |V |, v ↦→ |v| durch die
Vorschrift, daß für v = 0 gilt |v| = [v, εv] mit εv der Orientierung, für die v eine
orientierte Basis ist, ergänzt durch die Vorschrift |0| = 0. Diese Abbildung
v ↦→ |v| ist nicht linear, vielmehr gilt |λv| = |λ||v| für alle v ∈ V und λ ∈ R.
Wir versehen nun |V | mit der Orientierung, für die alle |v| mit v ∈ V \0
positiv orientiert sind. Jeder Isomorphismus von eindimensionalen Räumen
φ : V ∼ → W induziert in offensichtlicher Weise einen orientierungserhaltenden
Isomorphismus |φ| : |V | ∼ → |W | mit |φ|(|v|) = |φ(v)| für alle v ∈ V . So erhalten
wir dann schließlich den gewünschten (1, 1)-Gruppoidfunktor, der zur
durch den Betrag gegebenen eindimensionalen Darstellung von R × gehört.
Ergänzung 5.1.19 (von Darstellungen zu Gruppoidfunktoren). Es ist
auch nicht schwer, im allgemeinen einen quasiinversen Funktor zu unserer
Äquivalenz aus 5.1.17 explizit anzugeben: Gegeben eine endlichdimensionale
Darstellung W von GL(V ) alias ein Gruppenhomomorphismus ρ : GL(V ) →
GL(W ) konstruiert man einen Gruppoidfunktor Fρ dazu etwa vermittels der
Vorschrift
Fρ(V ′ ) := Hom ×
k (V, V ′ ) × ρ
GL(V ) W
Hierzu erinnern wir ??, wonach es ganz allgemein für W ein k-Vektorraum
und G eine Gruppe und ρ : G → GL(W ) ein Gruppenhomomorphismus und
Y ein G-Torsor auf dem balancierten Produkt Y × ρ
G W genau eine Struktur
als k-Vektorraum gibt derart, daß für alle y ∈ Y die Abbildung w ↦→ [y, w]
einen Vektorraumisomorphismus W ∼ → Y ×G W liefert.
Ergänzung 5.1.20. Gegeben ein n-dimensionales glattes Vektorraumbündel
E, ein n-dimensionaler R-Vektorraum V und eine endlichdimensionale stetige
alias glatte Darstellung ρ : GL(V ) → GL(W ) verwende ich für Fρ(E) auch
gerne die Abkürzung
ρ(E)
Ist zum Beispiel ρ : GL(V ) → GL(V ∗ ), g ↦→ (g ⊤ ) −1 die Kontragrediente
der Standarddarstellung, so liefern uns die vorherigen Konstruktionen für ndimensionale
glatte Bündel E natürliche Isomorphismen E ∗ ∼ → ρ(E), und die
offensichtlichen Gruppenhomomorphismen GL(V ) × GL(W ) → GL(V ⊗ W )
beziehungsweise GL(V ) × GL(W ) → GL(V ⊕ W ) führen zum Tensorprodukt
beziehungsweise der direkten Summe von Vektorbündeln. Bei der Konstruktion
des dualen Bündels oder des Tensorprodukts bzw. der direkten Summe
zweier Bündel scheint mir dieser Formalismus eher verwirrend als hilfreich.
Gewisse Konstruktionen werden aber in dieser Sprache auch einfacher: Betrachten
wir zum Beispiel den Betrag der Determinante ρ : GL(V ) → R ×