Analysis

1426 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Beweis. Ist B unsere simultane Schranke, so erhalten wir wie im vorhergehenden
Beweis für alle z ∈ C mit Re(z) = x > 0 dieselbe Abschätzung mit
B statt ε und damit die Konvergenz.
4.3.5. Mit dieser Proposition und 4.2.10 folgt sofort, daß die L-Reihen für
nichtkonstante Dirichlet-Charaktere χ sogar auf der Halbebene Re(z) > 0
konvergieren. Das liefert ihre in 4.2.7 behauptete Fortsetzbarkeit zu holomorphen
Funktionen auf dieser Halbebene. Der Satz über die Fortsetzungen
4.2.7 ist damit bewiesen bis auf die Behauptung, daß diese holomorphen
Fortsetzungen bei Eins nicht verschwinden.
Satz 4.3.6 (Konvergenzbereiche im Fall positiver Koeffizienten).
Konvergiert eine Dirichlet-Reihe ak e −λ(k)z mit positiven Koeffizienten ak >
0 auf der Halbebene Re(z) > r und läßt sich die so erklärte Funktion holomorph
auf eine Umgebung von r fortsetzen, so konvergiert unsere Reihe sogar
auf einer echt größeren Halbebene Re(z) > r − ε für ein ε > 0.
4.3.7. Dieser Satz ist eine Variante unserer Erkenntnis 1.7.7, daß eine holomorphe
Funktion auf einer offenen Kreisscheibe auch auf der ganzen offenen
Kreisscheibe durch ihre Taylorreihe dargestellt wird. Im allgemeinen kann
sich zwar die durch eine Dirichlet-Reihe auf einer geeigneten Halbebene definierte
Funktion durchaus holomorph auf eine größere Halbebene fortsetzen
lassen, ohne daß die Reihe dort konvergieren müßte. Unter der zusätzlichen
Annahme positiver Koeffizienten muß jedoch dann dort auch die Reihe konvergieren.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien r = 0 und alle λ(k) ≥ 0.
Nach Annahme finden wir ε > 0 derart, daß die durch unsere Dirichlet-
Reihe definierte Funktion f sich holomorph auf eine offene Umgebung der
Kreisscheibe |z − 1| ≤ 1 + ε fortsetzen läßt. Die Taylorentwicklung liefert
dann
f(−ε) =
∞
ν=0
f (ν) (1)
(−1 − ε)
ν!
ν
im Sinne absoluter Konvergenz. Die fraglichen Ableitungen hinwiederum ergeben
sich zu
f (ν) (1) = ak(−λ(k)) ν e −λ(k)
auch im Sinne absoluter Konvergenz, da alle Terme dasselbe Vorzeichen haben.
Folglich gilt
k,ν
1
ν! an(1 + ε) ν (λ(k)) ν e −λ(k) < ∞