Analysis

824 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Lemma 3.1.8. Sei X ein topologischer Raum, M ⊂ X eine Teilmenge und
p ∈ X ein Punkt. So gilt:
1. p ∈ M ◦ ⇔ M ist eine Umgebung von p;
2. p ∈ M ⇔ M trifft jede Umgebung von p;
3. p ∈ ∂M ⇔ M und X\M treffen jede Umgebung von p.
Beweis. 1 ist klar nach den Definitionen. Für 2 bemerken wir, daß nach
Lemma 3.1.4.1 gilt
p ∈ M ⇔ p /∈ (X\M) ◦
⇔ X\M ist keine Umgebung von p
⇔ jede Umgebung von p trifft M.
Sicher gilt weiter p ∈ ∂M ⇔ p ∈ M ∩ (X\M). Nun folgt 3 aus der eben
unter 2 bewiesene Aussage.
Übung 3.1.9. Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist offen genau dann,
wenn sie mit jedem Punkt auch eine ganze Umgebung dieses Punktes umfaßt.
Ergänzende Übung 3.1.10. Diese Übung liefert ein Beispiel für eine folgenabgeschlossene
aber nicht abgeschlossene Teilmenge eines Hausdorffraums.
Wir betrachten auf der Menge Ens(R, R) aller Abbildungen f : R → R die
“Topologie der punktweisen Konvergenz”: Eine Teilmenge U ⊂ Ens(R, R) ist
in Bezug auf diese Topologie offen genau dann, wenn es für jedes f ∈ U ein
ε > 0 und eine endliche Teilmenge E ⊂ R gibt mit
(|g(x) − f(x)| < ε ∀x ∈ E) ⇒ g ∈ U
Man zeige, daß das in der Tat eine Topologie ist, daß in dieser Topologie je
zwei verschiedene Funktionen disjunkte Umgebungen besitzen, und daß die
meßbaren Funktionen darin eine unter Konvergenz von Folgen abgeschlossene
aber nicht topologisch abgeschlossene Teilmenge bilden. Konvergenz von
Folgen verstehen wir hier im Sinne von II.6.3.1. Unsere “Topologie der punktweisen
Konvergenz” wird sich im übrigen in 3.6.1 folgende als ein Spezialfall
der sogenannten “Produkttopologie” erweisen.
Ergänzende Übung 3.1.11. Unter einer Umgebungsbasis eines Punktes in
einem topologischen Raum versteht man wie in II.2.1.23 ein System von
Umgebungen besagten Punktes derart, daß jede Umgebung unseres Punktes
mindestens eine Umgebung unseres Systems umfaßt. Man zeige: Besitzt in
einem topologischen Raum jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis, so
ist jede unter Konvergenz von Folgen abgeschlossene Teilmenge bereits abgeschlossen,
und jede “folgenstetige” Abbildung in einen weiteren topologischen
Raum ist bereits stetig.