Analysis

590 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Übung 7.4.13. Die Kovektorfelder dϑ und dr auf R 2 zu unseren Polarkoordinaten
aus 3.1.23 liefern Maße auf dem Kreis K ⊂ R 2 mit Radius 4 und auf
der Parallelen G ⊂ R 2 zur y-Achse durch den Punkt (1, 0). Man finde stetige
Funktionen auf diesen Mannigfaltigkeiten derart, daß ihre Produkte mit den
jeweiligen Flächenmaßen die Maße zu unseren Differentialformen liefern.
Definition 7.4.14. Sei M eine k-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit
eines endlichdimensionalen reellen Raums. Wir nennen eine meßbare k-
Form ω auf M nichtnegativ genau dann, wenn für alle Punkte p ∈ M und
jede angeordnete Basis v1, . . . , vk der Orientierung ε des Tangentialraums
TpM gilt
εωp(v1, . . . , vk) ≥ 0
Definition 7.4.15. Wir nennen eine k-Form ω auf einer k-dimensionalen
Untermannigfaltigkeit M eines endlichdimensionalen reellen Raums integrierbar
über M genau dann, wenn sie meßbar ist und wenn für das nach
7.4.2 zugehörige Maß |ω| gilt |ω|(M) < ∞.
Satz 7.4.16 (Integration von Differentialformen). Sei M eine k-dimensionale
orientierte Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen reellen
Raums. So bilden die über M integrierbaren k-Formen einen Untervektorraum
im Raum aller k-Formen auf M, und es gibt auf diesem Untervektorraum
genau eine Linearform ω ↦→ M ω derart, daß für alle nichtnegativen
k-Formen ω gilt
M
ω = |ω|(M)
Beispiel 7.4.17 (Integration einer Flußdichte). Ist X ein dreidimensionaler
orientierter reeller affiner Raum und M ⊂ X eine orientierte zweidimensionale
Untermannigfaltigkeit alias Fläche und ω die 2-Form der Flußdichte
eines bewegten Gases wie in 7.2.5 und 7.4.6, so beschreibt das Integral von
ω über M die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer
durch die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fläche M hindurchtritt.
Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fläche tritt, schlägt
dabei negativ zu Buche.
Beweis. Daß die integrierbaren k-Formen einen Untervektorraum bilden, scheint
mir offensichtlich. Um die Eindeutigkeit der fraglichen Linearform zu zeigen,
betrachten wir für eine beliebige meßbare k-Form ω auf M die meßbare Teil-
menge
M + ⎧
⎨
= p ∈ M
⎩
Es gilt ωp(v1, . . . , vk) > 0 für eine
und jede orientierte angeordnete
Basis v1, . . . , vk von TpM
⎫
⎬
⎭