Analysis

602 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Lichte unserer Anschauung 7.6.4 bildlich klarzumachen. Die Regel ddω = 0
ist zumindest für Nullformen im Lichte unserer Anschauung 7.6.4 leicht einzusehen,
da das Integral des Differentials einer Funktion über jeden geschlossenen
Integrationsweg verschwindet. Für Kovektorfelder sollte die Identität
ddω = 0 zumindest aus dem Stokes’schen Satz mit Ecken 7.8.24 heraus klar
werden: Er besagt, daß das Integral von dω über eine Fläche unseres Parallelpipeds
auch als Integral von ω über dessen Rand geschrieben werden
kann, und die Summe aller Randintegrale über die sechs Flächen unseres
Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null.
Beweis von 7.6.6. Wir können ω und η schreiben als Summen von Formen
der Gestalt aω◦, bη◦ mit ω◦, η◦ konstant und a, b differenzierbaren Funktionen.
Es reicht also, die Behauptung für ω = aω◦, η = bη◦ zu prüfen. Im
Fall von Funktionen liefert die Produktregel, wie bereits in 3.1.10 erwähnt,
unmittelbar d(ab) = (da)b + a(db). Dann gilt nach 7.6.5 aber dω = da ∧ ω◦,
dη = db ∧ η◦ und damit d(ω ∧ η) = ((da)b + a(db))ω◦ ∧ η◦. Da zusätzlich gilt
db ∧ ω◦ = (−1) |ω| ω◦ ∧ db, folgt die Leibniz-Regel.
Beweis von 7.6.7 im Fall X = R n . Für eine Nullform alias eine Funktion ω =
a auf einer offenen Teilmenge eines R n können wir ganz explizit rechnen
da = n
i=1
dda = n
i,j=1
=
i