Analysis

778 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Wegen 1.3.7 müssen wir nur zeigen, daß unter den gegebenen Voraussetzungen
zusammenhängend bereits wegzusammenhängend impliziert.
Nach IV.3.4.2 sind unter den gegebenen Voraussetzungen die Wegzusammenhangskomponenten
offen. Ist unser Raum nicht leer und nicht wegzusammenhängend,
so hat er mindestens zwei Wegzusammenhangskomponenten, und
nehmen wir eine dieser Komponenten und die Vereinigung der Übrigen, so
erhalten wir eine Überdeckung durch zwei nichtleere offene Teilmengen. Also
ist unter diesen Voraussetzungen unser Raum auch nicht zusammenhängend.
Proposition 1.3.10. Eine zusammenhängende Matrix-Liegruppe wird von
jeder Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt.
Vorschau 1.3.11. In 3.7.13 zeigen wir dieselbe Aussage allgemeiner für beliebige
sogenannte “topologische Gruppen”.
Beweis. Die von einer Umgebung U des neutralen Elements erzeugte Untergruppe
H ⊂ G ist offen in unserer Gruppe G, da für jedes h ∈ H auch seine
Umgebung hU in H enthalten ist. Dann sind auch alle Linksnebenklassen
Hg unserer Untergruppe offen in G. Als Bahnen der Linksoperation von H
auf G sind sie aber paarweise disjunkt, und für G zusammenhängend folgt
dann aus 1.3.9 bereits, daß es nur eine einzige Linksnebenklasse geben kann,
also H = G.
Korollar 1.3.12. Haben zwei zusammenhängende abgeschlossene Untergruppen
der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums
denselben Tangentialraum beim neutralen Element, so stimmen sie
überein.
Beweis. Nach Lemma 1.3.10 wird eine zusammenhängende Matrix-Liegruppe
von jeder Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt. Wegen 1.2.11 umfaßt
das Bild der Exponentialabbildung stets eine Umgebung des neutralen Elements,
folglich wird eine zusammenhängende Matrix-Liegruppe stets vom
Bild ihres Tangentialraums beim neutralen Element unter der Exponentialabbildung
erzeugt.
1.4 Ergänzungen zum Zusammenhangsbegriff*
1.4.1. Der folgende Abschnitt wird in dieser Vorlesung erst später relevant
werden, er sollte jedoch vor 6.4.15 irgendwann mal drankommen.
Lemma 1.4.2. Das Bild eines zusammenhängenden Raums unter einer stetigen
Abbildung ist stets zusammenhängend.