Analysis

1382 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
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Ein geschlossener Weg in einer ringförmigen offenen Menge U ⊂◦ C, der in U
nicht zusammenziehbar ist. Mit P = {p1, p2, p3} dürfen wir also in diesem
Fall den Residuensatz nicht anwenden: Das geht nur, wenn sich unsere
Funktion “holomorph auf das fehlende innere Ei fortsetzen läßt”.
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Anschaulicher Beweis des Residuensatzes in einem Spezialfall. Ergänzen wir
unseren Weg durch die zwei kleinen Extrawege, die von unserem großen
Weg auf kleinen Stichwegen zu den fraglichen Punkten hinlaufen, einmal im
Kreis darum herum und, auf demselben Stichweg wieder zurück auf unseren
großen Weg, so ändert sich das Wegintegral nur um die Integrale der beiden
kleinen Kreiswege. Diese sind jedoch mit Hilfe der Laurententwicklung um
die besagten singulären Stellen leicht zu berechnen. Der so ergänzte Weg ist
dann zusammenziehbar in U\P , und deshalb verschwindet das Wegintegral
über diesen ergänzten Weg nach Cauchy. Um diese meines Erachtens
wunderbar anschauliche Argumentation zu einem Beweis des
Residuensatzes auszubauen, benötigen wir jedoch die Umlaufzahlversion
des Cauchy’schen Integralsatzes 2.2.5, die wir im Rahmen dieser Vorlesung
nicht bewiesen haben.