Analysis

2. NAIVE MENGENLEHRE UND KOMBINATORIK 53
2.2.23. Ist f : X → Y eine bijektive Abbildung, so ist offensichtlich die
Menge {(f(x), x) ∈ Y × X | x ∈ X} im Sinne von 2.2.2 eine Abbildung
oder, vielleicht klarer, der Graph einer Abbildung Y → X. Diese Abbildung
in die Gegenrichtung heißt die Umkehrabbildung oder Umkehrfunktion
auch die inverse Abbildung zu f und wird mit f −1 : Y → X bezeichnet.
Offensichtlich ist mit f auch f −1 eine Bijektion.
Beispiel 2.2.24. Die Umkehrabbildung unserer Bijektion t : Z → Z, x ↦→ x+1
ist die Abbildung Z → Z, x ↦→ x − 1.
Übung 2.2.25. Gegeben eine Bijektion f : X → Y ist g = f −1 die einzige
Abbildung g : Y → X mit f ◦ g = idY . Ebenso ist auch h = f −1 die einzige
Abbildung h : Y → X mit h ◦ f = idX.
2.2.26. Gegeben drei Mengen X, Y, Z erhalten wir eine Bijektion
Ens(X × Y, Z) ∼ → Ens(X, Ens(Y, Z))
durch die Vorschrift f ↦→ f(x, ) mit der Notation f(x, ) für die Abbildung
y ↦→ f(x, y). Etwas vage formuliert ist also eine Abbildung X × Y → Z von
einem kartesischen Produkt X × Y in eine weitere Menge Z dasselbe wie
eine Abbildung, die jedem x ∈ X eine Abbildung Y → Z zuordnet, und
symmetrisch natürlich auch dasselbe wie eine Abbildung, die jedem y ∈ Y
eine Abbildung X → Z zuordnet. In der exponentiellen Notation liest sich das
ganz suggestiv als kanonische Bijektion Z (X×Y ) ∼ → (Z X ) Y . In diesem Sinne
sind also die in der Schule derzeit so beliebten “Funktionen mit Parameter”
nichts anderes als “Funktionen von zwei Variablen, bei denen eine der beiden
Variablen als Parameter bezeichnet wird”.
Satz 2.2.27 (Bedeutung der Fakultät). Sind X und Y zwei Mengen mit
je n Elementen, so gibt es genau n! bijektive Abbildungen f : X → Y .
Beweis. Sei X = {x1, . . . , xn}. Wir haben n Möglichkeiten, ein Bild für x1
auszusuchen, dann noch (n − 1) Möglichkeiten, ein Bild für x2 auszusuchen,
und so weiter, bis schließlich nur noch 1 Element von Y als mögliches Bild von
xn in Frage kommt. Insgesamt gibt es also n(n − 1) · · · 1 = n! Möglichkeiten
für f. Da wir 0! = 1 vereinbart hatten, stimmt unser Satz auch für n = 0.
Ergänzende Übung 2.2.28. Seien X, Y endliche Mengen. So gibt es genau
|Y | |X| Abbildungen von X nach Y , und unter diesen Abbildungen sind genau
|Y |(|Y | − 1)(|Y | − 2) . . . (|Y | − |X| + 1) Injektionen.
Ergänzende Übung 2.2.29. Sei X eine Menge mit n Elementen und seien
natürliche Zahlen α1, . . . , αr ∈ N gegeben mit n = α1 + . . . + αr. Man zeige: