Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 785
Definition 1.5.10. Eine Unteralgebra einer Algebra ist ein unter der Verknüpfung
stabiler Untervektorraum. Ein Algebren-Homomorphismus ist
eine lineare Abbildung, die mit den jeweiligen Verknüpfungen verträglich ist.
1.5.11. Gegeben ein Körper k und ein k-Vektorraum V wird End V eine
Liealgebra mit der Verknüpfung [X, Y ] = XY − Y X. Man notiert diese Liealgebra
meist gl(V ). Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
V ist im allgemeinen keineswegs jede reelle Unter-Liealgebra g ⊂ gl(V ) der
Tangentialraum im neutralen Element einer Matrix-Liegruppe G ⊂ V GL(V ).
Das Problem ist, daß die vom Bild der Exponentialabbildung erzeugte Untergruppe
keineswegs abgeschlossen zu sein braucht, wie zum Beispiel der Fall
g = R diag(i, α i) ⊂ End C 2 für irrationales reelles α zeigt. Jedoch gibt es
auf der fraglichen Untergruppe, auch wenn sie nicht abgeschlossen in GL(V )
ist, doch stets genau eine Struktur von glatter Mannigfaltigkeit im Sinne von
4.2.7 derart, daß die Einbettung differenzierbar ist und ihr Tangential den
Tangentialraum unserer Mannigfaltigkeit mit g identifiziert. Mehr dazu lernt
man in der Differentialgeometrie.
1.5.12 (Liealgebren von Schnitten). Aus 1.2.11 folgt für abgeschlossene
Untergruppen der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen
Vektorraums G, H ⊂ V Aut V die Formel
Lie(G ∩ H) = (Lie G) ∩ (Lie H)
Allgemeiner gilt für eine beliegige Familie (Gi)i∈I von abgeschlossenen Untergruppen
auch
Lie
Gi =
Lie Gi
i∈I
Diese Bemerkung hätte auch schon direkt im Anschluß an 1.2.11 stehen können.
Ich habe sie nur deshalb hierher verschoben, um sie bereits mit der
Bezeichnung Lie G statt TeG formulieren zu können. Mit 4.6.23 wird dann
dasselbe auch für abgeschlossene Untergruppen einer abstrakten Liegruppen
folgen.
1.6 Homomorphismen von Matrix-Liegruppen
Satz 1.6.1 (Einparameteruntergruppen von GL(V )). Ist V ein endlichdimensionaler
reeller oder komplexer Vektorraum, so ist jeder stetige Gruppenhomomorphismus
ϕ : R → GL(V ) von der Gestalt ϕ(t) = exp(tA) für
genau ein A ∈ End V .
1.6.2. Die stetigen Gruppenhomomorphismen ϕ : R → C × haben wir bereits
in V.1.6.2 bestimmt. Die Argumentation hier ist im Wesentlichen dieselbe.
i∈I