Analysis

1066 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
ihr Charakter sicher in diesem Teilring und wir können ihn mithin darstellen
als eine endliche Linearkombination mit ganzzahligen Koeffizienten
χV =
ν
nνχν
Ist nun V irreduzibel, so gilt zusätzlich 〈χV , χV 〉 = 1 und daraus folgt sofort
χV = χλ für ein wohlbestimmtes dominantes ganzes Gewicht λ, das dann
natürlich das höchste Gewicht von V sein muß, und wir erhalten für V auch
gleich die sogenannte Weyl’sche Charakterformel
l(w) w·λ
(−1) e
χV |T =
(−1) l(w) ew·0 Das zeigt sofort, daß je zwei einfache Darstellungen mit demselben höchsten
Gewicht isomorph sind. Da weiter die Charaktere dicht liegen müssen im
Raum der Klassenfunktionen, zeigt es auch, daß es zu jedem dominanten
Gewicht eine einfache Darstellung gibt, die dies höchste Gewicht hat.
Beweis der Weyl’schen Integrationsformel. Zunächst einmal wählen wir beliebige
nirgends verschwindende differenzierbare Volumenformen ω G/T , ω T
und ω G auf G/T, T und G. Dann interessieren wir uns für die Abbildung
G/T × T
ϕ
→ G
(gT , t) ↦→ gtg−1 Sicher gibt es eine glatte Funktion c : G/T × T → R mit
ϕ ∗ ω G = c ω G/T ∧ ω T
Falls ω G invariant ist unter Konjugation und ω G/T invariant unter Linkstranslation,
was wir von jetzt an beides annehmen wollen, so hängt offensichtlich
c nur von der zweiten Koordinate ab und kann geschrieben werden
als c(gT, t) = c(t). In der Tat haben wir ja ϕ ◦ (h·) = (int h) ◦ ϕ für alle
h ∈ G. Jetzt nehmen wir zusätzlich ω G und ω T auch noch invariant unter
Linkstranslation an und betrachten für gegebenes t ∈ T die Verknüpfung
G × T → G/T × T → G/T × T
ϕ
→ G → G
(g, τ) ↦→ (¯g, τ) ↦→ (¯g, tτ) ↦→ gtτg −1 ↦→ t −1 gtτg −1
Te G × Te T → Tē G/T × Te T → Tē G/T × Tt T → Tt G → Te G
Das Differential Te G × Te T → Te G unserer Verknüpfung ist gegeben durch
(X, Y ) ↦→ Ad(t −1 )X + Y − X. Wählen wir irgendeine lineare Linksinverse