Analysis

1084 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
11.4.13. Unsere Bedingung im zweiten Teil ist zum Beispiel stets erfüllt,
wenn K und H abgeschlossene Untergruppen einer Lie-Gruppe G sind mit
G = HK, wie man aus der Surjektivität des Differentials der Multiplikation
H × K → G leicht folgert. Besonders anschaulich wird der Satz im Lichte
der geometrischen Konstruktion induzierter Darstellungen als Schnitte in
Bündeln über dem Raum der Nebenklassen 11.5.5.
Beweis. 1. Liegt eine Abbildung G → V aus ind G
H V fest auf einer Teilmenge
K ⊂ G, so liegt sie bereits fest auf HK, und falls V Hausdorff ist auch auf
dem Abschluß von HK.
2. Wir haben
ind G
H V = {f ∈ C(G, V ) | f(hx) = hf(x) ∀x ∈ G, h ∈ H}
ind K
M V = {f ∈ C(K, V ) | f(hx) = hf(x) ∀x ∈ K, h ∈ M}
und die natürliche Abbildung wird in diesem Bild schlicht das Einschränken
f ↦→ f|K. Schon wenn wir nur G = HK fordern, ist unsere natürliche
Abbildung offensichtlich injektiv. Gegeben f ∈ ind K
M V betrachten wir nun
˜f : H × K → V
(h, k) ↦→ hf(k)
und beachten ˜ f(hm, k) = ˜ f(h, mk) für alle m ∈ M derart, daß ˜ f eine stetige
Abbildung ˜ f : H ×M K → V induziert, die wir aufgrund unserer Annahme
auch als stetige Abbildung ˜ f : G → V auffassen können. Unsere natürliche
Abbildung ist mithin auch surjektiv und wir müssen nur noch die Stetigkeit
ihrer Inversen f ↦→ ˜ f zeigen. Nun ist diese Abbildung ind K
M V → ind G
H V nach
11.2.13 stetig genau dann, wenn im kommutativen Diagramm
ind K
M V × H × K → V
↓
ind K
M V × G → V
mit oberer Horizontale (f, h, k) ↦→ hf(k) die untere Horizontale stetig ist.
Da aber die obere Horizontale stetig ist und die linke Vertikale als Produkt
offener stetiger Surjektionen offen stetig surjektiv und damit nach 3.4.19 final
ist, folgt die Stetigkeit der unteren Horizontale.
Gibt es auch Koinduktion? Bourbaki scheint zu zeigen, daß der Raum
der Maße unter geeigneten Annahmen mit der Struktur eines von-Neumann-
Raums versehen werden kann. Das müßte die Koinduktion der trivialen Darstellung
der trivialen Gruppe werden wollen...