Analysis

140 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
3 Stetigkeit
3.1 Definition und erste Beispiele
3.1.1. Abbildungen mit Werten in irgendeiner Art von Zahlen nennen wir
Funktionen. Wir erlauben hier auch Werte in R. Wollen wir besonders betonen,
daß nur reelle Zahlen als Werte angenommen werden, so sprechen
wir von reellwertigen Funktionen. Reellwertige Funktionen auf der reellen
Zahlengeraden kann man sich auf mindestens vier verschiedene Arten
vorstellen:
1. In der Schule ist es üblich, eine Funktion f : R → R durch ihren
Graphen Γ(f) = {(x, y) ∈ R 2 | y = f(x)} zu veranschaulichen, also
durch eine Teilmenge der Ebene R 2 .
2. In der Physik ist es üblich, sich eine Abbildung f : R → X, t ↦→ f(t)
von R in irgendeine Menge X vorzustellen als ein Teilchen, das sich
“im Raum X bewegt und sich zur Zeit t (für lateinisch “tempus”) am
Punkt f(t) befindet”. In unserem Fall hätten wir uns also ein Teilchen
vorzustellen, das sich auf der Zahlengerade X = R bewegt.
3. Eine reellwertige Funktion auf einer beliebigen Menge kann man sich
als eine Temperaturverteilung auf besagter Menge vorstellen, im vorliegenden
Fall also als eine Temperaturverteilung auf der reellen Zahlengeraden.
4. In der Mathematik ist es auch nützlich, sich eine Funktion f : R → R
wirklich als Abbildung der Zahlengerade auf sich selber vorzustellen.
Als Beispiel betrachten wir den Absolutbetrag, der als Abbildung aufgefaßt
den negativen Teil der Zahlengerade auf den positiven Teil herüberklappt.
3.1.2. Beliebige Abbildungen R → R können wild aussehen, man denke nur
etwa an die Abbildung, die jeder rationalen Zahl den Betrag ihres Nenners
nach vollständigem Kürzen zuordnet und jeder irrationalen Zahl ihre fünfte
Nachkommastelle. Wir führen nun die Klasse der “stetigen Funktionen” ein
und zeigen insbesondere, daß für stetige auf einem Intervall definierte und
injektive Funktionen auch ihr Bild ein Intervall ist und die Umkehrfunktion
stetig. Das liefert uns dann viele neue Funktionen als Umkehrfunktionen
bereits bekannter Funktionen. Anschaulich ist eine reellwertige Funktion auf
einem reellen Intervall stetig genau dann, wenn man “ihren Graphen zeichnen
kann ohne den Stift abzusetzen”. Diese Anschauung werden wir im Folgenden
präzisieren. Wir erinnern an den Umgebungsbegriff aus 2.1.8.