Analysis

476 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
mit der Eigenschaft, daß für jede Karte ϕ : W → M und jede Funktion
f ∈ Cc(M, R) mit Träger im Bild der Karte alias supp f ⊂ ϕ(W ) gilt
f = f(ϕ(x)) det (dxϕ) ⊤ (dxϕ) d k x
M
W
4.5.2. Dieser Satz ist formal betrachtet noch nicht besonders nützlich, da für
das Lösen praktischer Aufgaben meist Funktionen zu integrieren sind, die
eben gerade nicht kompakten Träger haben. Dennoch sollte daraus ersichtlich
sein, wie in der Praxis gerechnet werden muß. Wir verschieben die formale
Rechtfertigung dieser Rechnungen auf den Abschnitt über das Lebesgue-
Integral, vergleiche 6.9.1 folgende, in dessen Rahmen sie besonders einfach
formuliert und bewiesen werden können. Bevor ich den obigen Satz beweise,
will ich erst einmal versuchen, ihn zu motivieren und den darin erklärten
Integralbegriff mit Anschauung zu füllen.
Ergänzung 4.5.3. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum X
und ein Skalarprodukt auf seinem Richtungsraum mit Einheiten im orientierten
eindimensionalen Vektorraum L im Sinne von ?? liefern die analogen
Definitionen für jede k-dimensionale Untermannigfaltigkeit M ⊂ X ein Integral
M
: Cc(M, R) → L ⊗k
Wie bereits erwähnt messen sich also auch in der Mathematik“Längen in Metern,
Flächen in Quadratmetern und Volumen in Kubikmetern”. Betrachten
wir noch allgemeiner Funktionen mit Werten in einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum V, so wird unser Integral noch allgemeiner zu einer
Abbildung
M : Cc(M, V ) → L ⊗k ⊗ V.
Beispiel 4.5.4. Ist ϕ : [a, b] → R n eine Kurve derart, daß das Bild des offenen
Intervalls ϕ((a, b)) eine 1-Mannigfaltigkeit M ist und ϕ : (a, b) → M eine
Karte von M, so ist das Integral einer stetigen Funktion mit kompaktem
Träger f : M → R über M genau das Kurvenintegral der durch Null auf die
Endpunkte fortgesetzen Funktion f längs der Kurve ϕ im Sinne von II.7.3.6.
Beispiel 4.5.5 (Oberfläche der Einheitskugel). Lassen wir aus der Kugelschale
S 2 = {(x, y, z) | x 2 + y 2 + z 2 = 1} den Äquator weg, also alle Punkte
(x, y, z) mit z = 0, und dazu noch einen halben Großkreis von Pol zu Pol,
sagen wir alle Punkte (x, y, z) mit y = 0 und x ≤ 0, so ist der Rest die
disjunkte Vereinigung von zwei geschlitzten offenen Hemisphären U+ ∪ U−
und U± ist das Bild der Karte
ϕ± : (0, 1) × (−π, π) → S 2
(r , θ) ↦→ (r cos θ, r sin θ, ± √ 1 − r 2 )