Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 551
6.6.9. Unser Satz impliziert insbesondere, daß unter den gegebenen Voraussetzungen
die partiellen Integrale vertauscht werden dürfen. Bezeichnet in
der Tat τ : X ×Y → Y ×X das Vertauschen, so haben wir die offensichtliche
Verwandschaft von Maßen τ : µ ⊠ ν ❀ ν ⊠ µ und die ebenso offensichtliche
Verwandschaft von Funktionen τ : f ❀ ˜ f mit ˜ f(y, x) = f(x, y) und damit
unmittelbar und formal nach 6.5.15 die Gleichheit
f(x, y) (µ ⊠ ν)〈x, y〉 = ˜f(y, x) (ν ⊠ µ)〈y, x〉
X×Y
Y ×X
6.6.10. Dieser Satz und verschiedene seiner Varianten werden auch oft als
Satz von Tonelli zitiert. Daß die partiellen Integrale bei nicht notwendig σendlichen
Maßräumen im allgemeinen nicht mehr vertauscht werden dürfen,
zeigt das folgende Beispiel: Sei X = Y = [0, 1] versehen mit der σ-Algebra B
der topologisch meßbaren Mengen und dem Lebesgue-Maß λ beziehungsweise
dem Zählmaß ζ. Die Diagonale ∆ ist dann meßbar, für ihre charakteristische
Funktion [∆] gilt jedoch
Y
[∆](x, y)λ〈x〉 ζ〈y〉 = 0 = 1 =
X
X
[∆](x, y)ζ〈y〉 λ〈x〉
Y
Beweis. Für jedes y ∈ Y ist die y-Horizontale X → X × Y , x ↦→ (x, y)
meßbar nach Lemma 6.3.9, da die Urbilder von Erzeugern der σ-Algebra
der meßbaren Mengen des Produkts meßbar sind. Also ist auch x ↦→ f(x, y)
meßbar auf X als die Verknüpfung von f mit der y-Horizontalen. Um die
anderen Aussagen des Satzes zu zeigen, müssen wir weiter ausholen. Zunächst
einmal dürfen wir annehmen, daß X und Y endliches Maß haben: Sonst
schreiben wir X bzw. Y als aufsteigende Vereinigungen von Teilmengen Xn
bzw. Ym endlichen Maßes und erhalten die Meßbarkeit des partiellen Integrals
über Xn und
Xn×Ym
f(x, y) (µ ⊠ ν)〈x, y〉 =
Ym
Xn
f(x, y)µ〈x〉 ν〈y〉
Im Grenzwert n → ∞ ergibt sich dann auf der linken Seite nach dem Satz
6.4.9 über monotone Konvergenz
f(x, y) (µ ⊠ ν)〈x, y〉, und auf der
X×Ym
rechten streben die meßbaren Funktionen y ↦→
f(x, y)µ〈x〉 punktweise
Xn
monoton gegen y ↦→
f(x, y)µ〈x〉. Mithin ist diese Funktion auch meßbar
X
und hat das Integral
Ym
f(x, y)µ〈x〉
X
ν〈y〉 = lim
n→∞
Ym
f(x, y)µ〈x〉
Xn
ν〈y〉