Analysis

694 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Hier steht (n −1/2 )∗ für das Bildmaß im Sinne von IV.6.3.22 unter der durch die
Multiplikation mit n −1/2 gegebenen Abbildung R → R. Unsere Funktionenfolge
strebt nun nach II.2.6.17 punktweise gegen die Funktion e −y2 /2 und all
ihre Glieder sind als charakteristische Funktionen von Wahrscheinlichkeitsmaßen
betragsmäßig beschränkt durch Eins. Aus dem Satz über dominierte
Konvergenz folgt damit für jede Funktion f des Schwartzraums
(n −1/2 )∗µ ∗n∧ (y) f(y) dy →
e −y2 /2 f(y) dy
bei n → ∞. Nach 2.1.15 ist die Funktion e −y2 /2 die charakteristische Funktion
im Sinne von 2.2.15 des Maßes e −x2 /2 dx/ √ 2π, so daß wir wie im Beweis von
2.3.19 mit der Erkenntnis, daß die Fouriertransformation im Wesentlichen
ihre eigene Transponierte ist, folgern können, daß für alle Funktionen g des
Schwarzraums gilt
g(x) (n −1/2 )∗µ ∗n 〈x〉 →
g(x) e−x2 /2
√ 2π dx
bei n → ∞. Das anschließende Lemma 2.5.20 beendet dann den Beweis.
Lemma 2.5.20. Sei (µn)n∈N eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf
R und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit einer stetigen Verteilungsfunktion
V = Vµ. Gilt
g(x)µn〈x〉 → g(x)µ〈x〉 bei n → ∞
für jede Funktion g des Schwartzraums, so streben die Verteilungsfunktionen
Vn der µn gleichmäßig gegen die Verteilungsfunktion V von µ.
Beweis. Alle unsere Verteilungsfunktionen streben gegen Null für b → −∞
und gegen Eins für b → ∞ und wachsen monoton. Es ist damit nicht schwer
einzusehen, daß aus der punktweisen Konvergenz Vn(b) → V (b) bereits die
gleichmäßige Konvergenz folgt. Gegeben I ⊂ J ⊂ R beschränkte Intervalle
derart, daß sogar der Abschluß des Ersten im Inneren des Zweiten enthalten
ist, in Formeln I ⊂ J ◦ , finden wir eine glatte Funktion g : R → [0, 1], die auf
I Eins ist und die außerhalb von J verschwindet. Sicher gilt dann
µ(I) ≤ g(x)µ〈x〉 ≤ µ(J)
und ebenso für alle µn. Wir finden folglich für alle ε > 0 ein N mit
µn(I)
n ≥ N ⇒
µ(I)
≤
≤
µ(J) + ε;
µn(J) + ε.