Analysis

624 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
M = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0} anwenden. Deren regulärer Teil Mr
besteht aus dem Komplement der Kreislinie {(x, y, z) | x2 + y2 = 1, z = 0},
und der Rand des regulären Teils ∂Mr ist die Vereinigung der oberen Hemisphäre
H aus 7.5.5 mit der offenen Einheitskreisscheibe in der xy-Ebene
D. Versehen wir unsere massive Halbkugel mit der von R3 induzierten Orientierung,
so erbt die obere Hemisphäre H die bereits in 7.5.5 beschriebene
Orientierung, die Einheitskreisscheibe D jedoch die nicht von der Einbettung
in R2 induzierte Orientierung. Schreiben wir D für D mit der von der Einbettung
in R2 induzierten Orientierung, so erhalten wir für ω = x2dx ∧ dy
wegen dω = 0 folglich nach Stokes in der Tat
0 = dω = ω = x 2
dx ∧ dy − x 2 dx ∧ dy
Mr
∂ Mr
H
Beweis. Ganz genau wie beim Beweis des Stokes’schen Satzes 7.8.1 ziehen wir
uns zurück auf den Fall einer stetig differenzierbaren k-Form η auf (R≤q) k+1
mit kompaktem Träger. Wieder nennen wir unsere Koordinaten x0, x1, . . . , xk,
betrachten nun aber für 0 ≤ ν ≤ k die Einbettungen
iν : (R≤0) k ↩→ (R≤0) k+1
die durch Einfügen einer Null an der ν-ten Stelle entstehen. Der Stokes’sche
Integralsatz mit Ecken reduziert sich dann auf die Behauptung
k
(−1) ν
i ∗
νη = dη
ν=0
(R≤0) k
(R≤0) k+1
und das kann wie beim Beweis von 7.8.8 explizit nachgerechnet werden.
7.8.28 (Alternativer Zugang zur Homotopieinvarianz bei Wegintegralen).
Wir können nun auch einen besonders kurzen Beweis für die Homotopieinvarianz
von Wegintegralen in geschlossenen Kovektorfeldern 3.6.10 geben
unter der stärkeren Voraussetzung, daß es zwischen unseren beiden stetig
differenzierbaren Wegen γ, ψ : [0, 1] → A sogar eine zweimal stetig differenzierbare
Homotopie h : [0, 1] 2 → A gibt. Wir nehmen genauer A offen in
einem reellen Raum X an und ω : A → X∗ ein stetig differenzierbares Kovektorfeld.
Die Behauptung in 3.6.10 besagt ja gerade, daß aus dω = 0 folgt
ω = ω. Aber nun finden wir
γ ψ
ω − ω = h ∗
ω = d(h ∗
ω) = h ∗ (dω) = 0
γ
ψ
∂([0,1] 2 )
[0,1] 2
nach der Definition einer Homotopie, dem Satz von Stokes mit Ecken, der
Verträglichkeit des Zurückholens von Formen mit dem äußeren Differential
7.6.8 und unserer Annahme dω = 0.
D
[0,1] 2