Analysis

2. NAIVE MENGENLEHRE UND KOMBINATORIK 37
2.1.2. Im Wortlaut der ersten Zeilen des Artikels “Beiträge zur Begründung
der transfiniten Mengenlehre (Erster Aufsatz)” von Georg Cantor, erschienen
im Jahre 1895, hört sich die Definition einer Menge so an:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt
werden) zu einem Ganzen.
Verbinden wir mit einer Menge eine geometrische Vorstellung, so nennen wir
ihre Elemente auch Punkte und die Menge selbst einen Raum. Ein derartiges
Herumgerede ist natürlich keine formale Definition und birgt auch
verschiedene Fallstricke, vergleiche 2.1.24. Das Ziel dieser Vorlesung ist aber
auch nicht eine formale Begründung der Mengenlehre, wie Sie sie später in
der Logik kennenlernen können. Sie sollen vielmehr die Bedeutung dieser
Worte intuitiv erfassen wie ein Kleinkind, das Sprechen lernt: Indem sie mir
und anderen Mathematikern zuhören, wie wir mit diesen Worten sinnvolle
Sätze bilden, uns nachahmen, und beobachten, welchen Effekt Sie damit
hervorrufen. Unter anderem dazu sind die Übungsgruppen da.
Beispiele 2.1.3. Endliche Mengen gibt man oft durch eine vollständige Liste
ihrer Elemente in geschweiften Klammern an, zum Beispiel in der Form
X = {x1, x2, . . . , xn}. Diese geschweiften Klammern heißen auch Mengenklammern.
Die Elemente dürfen mehrfach genannt werden, und es kommt
nicht auf die Reihenfolge an, in der sie genannt werden. So haben wir also
{1, 1, 2} = {2, 1}. Die Aussage “x ist Element von X” wird mit x ∈ X abgekürzt,
ihre Verneinung “x ist nicht Element von X” mit x ∈ X. Es gibt
auch die sogenannte leere Menge ∅ = { }, die gar kein Element enthält.
Andere Beispiele sind die Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, . . .},
die Menge der ganzen Zahlen Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .} und die Menge der
rationalen Zahlen Q = {p/q | p, q ∈ Z, q = 0}. Der Name letzterer Menge
kommt von lateinisch “ratio” für “Verhältnis”. Man beachte, daß wir auch
hier Elemente mehrfach genannt haben, es gilt ja p/q = p ′ /q ′ genau dann,
wenn pq ′ = p ′ q. Auf Deutsch bezeichnet man die rationalen Zahlen auch
als Bruchzahlen, da man sich etwa ein Viertel eines Kekses als den Anteil
denken kann, der entsteht, wenn man besagten Keks in vier gleiche Teile
zerbricht.
2.1.4. Die Verwendung des Kommas als Trenner ist hier insofern problematisch,
als {1, 2} nun sowohl als die Menge mit den beiden Elementen 1 und 2
verstanden werden kann, als auch als die Menge mit dem Dezimalbruch 1,2
als einzigem Element. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext
zu erschließen oder durch genaues Prüfen des Freiraums nach dem Komma.
In diesem Text werden Dezimalbrüche nur selten vorkommen.