Analysis

90 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
1 Die reellen Zahlen
Hier trennen sich nun die Wege der linearen Algebra, in der man sich zunächst
nur auf die in [?] eingeführten algebraischen Konzepte stützt und bis
auf weiteres mit beliebigen Körpern arbeiten kann, und der Analysis, für die
das Wesen der reellen Zahlen grundlegend ist. Bei der Modellierung des Anschauungsraums
spielen jedoch die reellen Zahlen auch wieder eine zentrale
Rolle. Überspitzt könnte man sagen, daß im Gegensatz zu früher, als die
mathematische Modellierung der Ebene mithilfe der euklidischen Axiome an
den Anfang gestellt wurde, seit dem Anfang des 20.-ten Jahrhunderts eher
die Modellierung der Gerade an den Anfang gestellt wird, wie wir sie im
folgenden kennenlernen werden.
1.1 Wurzeln rationaler Zahlen
Satz 1.1.1. Es gibt keine rationale Zahl x ∈ Q mit x 2 = 2.
Bemerkung 1.1.2. Dieser Satz erklärt, warum wir uns mit den rationalen Zahlen
nicht zufrieden geben. In der Tat suchen wir nach einem Zahlbereich, in
dem jeder “anschaulichen Länge”, wie zum Beispiel der Länge der Diagonale
eines Quadrats der Kantenlänge Eins, auch tatsächlich eine Zahl entspricht.
Wir zeigen in 2.3.2, daß im Zahlbereich der reellen Zahlen immerhin aus allen
nichtnegativen Zahlen Quadratwurzeln gezogen werden können, und diskutieren
in 2.4.1, wie sich sogar unsere anschauliche Vorstellung von der Länge
des Einheitskreises zur Definition einer reellen Zahl präzisieren läßt.
Erster Beweis. Setzen wir die in ?? bewiesene Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
als bekannt voraus, so folgt unmittelbar, daß das Quadrat eines
unkürzbaren Bruches mit Nenner = ±1 wieder ein unkürzbarer Bruch mit
Nenner = ±1 ist. Für eine rationale Zahl x ∈ Q folgt aus x ∈ Z also x 2 ∈ Z.
Gäbe es mithin eine rationale Zahl x ∈ Q mit x 2 = 2, so müßte x bereits
selbst eine ganze Zahl sein. Offensichtlich gibt es jedoch keine ganze Zahl
x ∈ Z mit x 2 = 2.
Zweiter Beweis. Ohne die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als bekannt
vorauszusetzen können wir in unserer speziellen Situation auch elementarer
mit dem Primfaktor 2 durch Widerspruch argumentieren: Nehmen wir an, wir
fänden ganze Zahlen p, q ∈ Z mit q = 0 derart, daß x = p/q ein unkürzbarer
Bruch wäre mit x 2 = 2. Es folgte p 2 = 2q 2 , also p 2 gerade, also p gerade, also
p 2 durch 4 teilbar, also q 2 gerade, also q gerade. Dann wäre unser Bruch aber
doch kürzbar gewesen, nämlich durch 2.