Analysis

1. ABLEITUNGEN IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 349
1 Ableitungen in mehreren Veränderlichen
1.1 Partielle Ableitungen und Gradient
Definition 1.1.1. Sei A⊂◦ R n eine offene Teilmenge, f : A → R eine Funktion
und p = (p1, . . . , pn) ∈ A ein Punkt. Wir nennen f partiell differenzierbar
bei p nach der i-ten Variablen genau dann, wenn die Funktion x ↦→
f(p1, . . . , pi−1, x, pi+1, . . . , pn) differenzierbar ist bei x = pi. Die Ableitung
dieser Funktion heißt dann die i-te partielle Ableitung von f und wird
notiert
(Di f)(p) = ∂f
∂xi
f(p1, . . . , pi + h, . . . , pn) − f(p1, . . . , pi, . . . , pn)
(p) := lim
h→0
h
1.1.2. Diese partiellen Ableitungen sind, soweit sie existieren, wieder reellwertige
Funktionen auf A. Um ∂f
zu berechnen muß man sich nur vorstellen,
∂xi
alle xj mit j = i seien Konstanten. Zum Beispiel berechnen wir die partiellen
Ableitungen von f(x, y) = x sin(xy) und erhalten
∂f
∂x
∂f
∂y = x2 cos(xy)
= sin(xy) + xy cos(xy)
Dieses Beispiel zeigt auch die Vorteile der Notation ∂ gegenüber der etwas
∂x
exakteren Notation Di, bei der man stets eine Reihenfolge der Variablen festlegen
muß und schneller in Indizes ertrinkt. Im Fall, daß weder die Variablen
noch die Funktion selbst bereits Indizes tragen, benutzt man auch die sehr
konzise Schreibweise
∂f
= fx
∂x
Ergänzung 1.1.3. Allgemeiner definiert man ebenso auch partielle Ableitungen
für Abbildungen f von einer offenen Teilmenge A⊂◦ Rn in einen beliebigen
normierten Vektorraum. Diese partiellen Ableitungen sind dann, soweit sie
von A in denselben normierten Vektorraum.
existieren, Abbildungen ∂f
∂xi
1.1.4. Ich will an einem Beispiel erläutern, aus welchem Grund man im Fall
mehrerer Veränderlichen unsere bisherige Notation d ∂ zu abändert. Den-
dx ∂x
ken wir uns einen Wanderer auf einer Wanderung durch die Alpen, bei der
schlechtes Wetter aufkommt. Der Luftdruck D = D(t, h) hängt dann sowohl
von der Zeit als auch von der Höhe ab. Macht unser Wanderer zum Zeitpunkt
t = t0 in der Höhe h = h0 eine Pause, so ändert sich der Luftdruck, den sein
Barometer mißt, mit der Rate ∂D
∂t (t0, h0). Geht er jedoch zum Zeitpunkt t = t0
bergab oder bergauf und gibt die Funktion h(t) seine Höhe zum Zeitpunkt