Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 111
Beispiel 2.1.18. Die Folge xn = n konvergiert gegen plus Unendlich, in Formeln
lim n = ∞
n→∞
In der Tat umfaßt jede Umgebung U von ∞ per definitionem ein Intervall
der Gestalt (a, ∞] für a ∈ R, und bereits jedem derartigen Intervall liegen
nach 1.4.12 jeweils fast alle Folgenglieder.
Definition 2.1.19. Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert.
Beispiel 2.1.20. Die Folge xn = 1/n ist eine Nullfolge, in Formeln
1
lim
n→∞ n
In der Tat umfaßt jede Umgebung U von 0 per definitionem ein Intervall der
Gestalt (−ε, ε) für ε > 0, und bereits in jedem derartigen Intervall liegen alle
Folgenglieder mit n > (1/ε), nach 1.4.12 also jeweils fast alle Folgenglieder.
Lemma 2.1.21 (Eindeutigkeit des Grenzwerts). Ein- und dieselbe Folge
kann nicht gegen zwei verschiedene Punkte konvergieren, in Formeln
= 0
( lim
n→∞ xn = x und lim
n→∞ xn = y) ⇒ (x = y)
Beweis. Durch Widerspruch. Sind unsere Punkte x und y verschieden, so
besitzen sie auch disjunkte Umgebungen U und V. Dann können aber von
unseren unendlich vielen Folgengliedern nicht fast alle in der Umgebung U
von x und fast alle in der Umgebung V von y liegen, also kann unsere Folge
nicht gleichzeitig gegen x und gegen y konvergieren.
2.1.22. Man beachte, wie unser Umgebungsbegriff uns bereits an dieser Stelle
dabei hilft, den Beweis kurz und prägnant zu halten und die Diskussion von
Sonderfällen für {x, y} ∩ {−∞, ∞} = ∅ zu vermeiden.
Definition 2.1.23. Unter einer Umgebungsbasis eines Punktes versteht
man ein System alias eine Menge von Umgebungen besagten Punktes derart,
daß jede Umgebung unseres Punktes mindestens eine Umgebung unseres
Systems umfaßt.
Beispiele 2.1.24. Die ε-Umgebungen eines Punktes x ∈ R bilden eine Umgebungsbasis
von x, desgleichen aber auch alle Intervalle [x − 3ε, x + 4ε) mit
ε > 0 oder alle Intervalle [x − 1/n, x + 1/n] mit n ∈ N≥1. Eine Umgebungsbasis
von ∞ bilden etwa die Intervalle [K, ∞] mit K ∈ R oder auch mit
K ∈ N.