Analysis

1298 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Proposition 4.9.16. Gegeben integrierbare Zufallsvariablen X1, . . . , Xn ist
der Erwartungswert ihrer Summe die Summe ihrer Erwartungswerte, in Formeln
E(X1 + . . . + Xn) = E(X1) + . . . + E(Xn)
Beweis. Das ist klar.
Definition 4.9.17. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Gegeben eine
quadratintegrierbare Zufallsvariable X, in Formeln X ∈ L 2 R(Ω), ist ihre
Varianz Var(X) ∈ R≥0 erklärt als das Integral
Var(X) := (X − E(X)) 2
Schließlich erklärt man die Standardabweichung σ(X) ∈ R≥0 einer quadratintegrierbaren
Zufallsvariablen X ∈ L 2 R(Ω) als die Wurzel aus der Varianz
σ(X) := Var(X)
4.9.18. Der Begriff der Standardabweichung hat den Vorteil, daß für reelles
λ ≥ 0 gilt σ(λX) = λσ(X). So hat etwa die verdoppelte Zufallsvariable die
vierfache Varianz, aber die doppelte Standardabweichung. Geometrisch mag
man X − E(X) interpretieren als das Bild von X ∈ L 2 R(Ω) unter der orthogonalen
Projektion auf die Hyperebene aller quadratintegrierbaren Zufallsvariablen
mit Erwartungswert Null: In der Tat steht die Gerade der konstanten
reellen Zufallsvariablen nämlich auf dieser Hyperebene senkrecht und der Erwartungswert
einer quadratintegrierbaren Zufallsvariablen ist nichts anderes
als ihr Skalarprodukt mit der konstanten Zufallsvariablen Eins. Damit bedeutet
die Standardabweichung einer quadratintegrierbaren Zufallsvariablen
also geometrisch die Länge ihrer orthogonalen Projektion auf die Hyperebene
aller quadratintegrierbaren Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null.
Definition 4.9.19. Gegeben zwei quadratintegrierbare Zufallsvariablen X, Y ∈
L 2 R(Ω) bezeichnet man schließlich das Skalarprodukt der besagten Projektionen
unserer Zufallsvariablen als ihre Kovarianz
Kov(X, Y ) := 〈X − E(X), Y − E(Y )〉 = E(XY ) − E(X) E(Y )
Für von Null verschiedene Varianzen bezeichnet man schließlich den Cosinus
des von unseren Projektionen eingeschlossenen Winkels als den Korrelationskoeffizienten
ρ unserer beiden Zufallsvariablen, in Formeln
ρ(X, Y ) :=
Kov(X, Y )
σ(X)σ(Y )
Ist besagter Korrelationskoeffizient oder sogar noch etwas allgemeiner die
Kovarianz Null, so heißen unsere Zufallsvariablen unkorreliert.