Analysis

812 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 2.3.13. Man zeige: U(n) ⊂ GL(n; C) ist eine maximale kompakte Untergruppe
und gegeben eine beliebige kompakte Untergruppe K ⊂ GL(n; C)
gibt es stets g ∈ GL(n; C) mit gKg −1 ⊂ U(n). Man zeige auch die analoge
Aussage im Fall O(n) ⊂ GL(n; R). Hinweis: 2.3.12.
Übung 2.3.14. Gegeben eine stetige Darstellung ρ : S1 → GL(V ) der Kreislinie
S1 durch Automorphismen eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums
V zerfällt unser Raum als eine direkte Summe von Teilräumen
V =
n∈Z
mit Vn = {v ∈ V | ρ(z)v = z n v ∀z ∈ S 1 }. Hierbei werden dann natürlich
fast alle der Vn nur aus dem Nullvektor bestehen und die direkte Summe
ist im Sinne von ?? zu interpretieren. Einen alternativen Zugang, der mit
sehr viel weniger Analysis auskommt und stattdessen von der Jordan’schen
Normalform ausgeht, wird in ?? skizziert. Eine Verallgemeinerung auf Tori
wird in 2.4.12 besprochen.
2.4 Vollständig reduzible Darstellungen
Lemma 2.4.1. Jeder Verflechtungsoperator zwischen einfachen Darstellungen
ist entweder die Nullabbildung oder ein Isomorphismus.
2.4.2. Sind insbesondere L ∼ = M nichtisomorphe einfache Darstellungen einer
Gruppe G, so folgt Hom G (L, M) = 0. Sind L und M dahingegen isomorphe
einfache Darstellungen und ist ϕ : L ∼ → M ein Isomorphismus, so liefert
das Nachschalten von ϕ eine Bijektion End G (L) ∼ → Hom G (L, M) und das
Vorschalten von ϕ eine Bijektion End G (M) ∼ → Hom G (L, M).
Beweis. Für einen Verflechtungsoperator ϕ : L → M ist das Bild stets eine
Unterdarstellung im ϕ ⊂ M. Aus ϕ = 0 und M einfach folgt also ϕ surjektiv.
Für einen Verflechtungsoperator ϕ : L → M ist weiter der Kern stets eine
Unterdarstellung ker ϕ ⊂ L. Aus ϕ = 0 und L einfach folgt also ker ϕ = 0
und damit ϕ injektiv. Sind also M und L beide einfach und ist ϕ nicht Null,
so ist ϕ bijektiv.
Lemma 2.4.3 (von Schur). Die einzigen Verflechtungsoperatoren einer
einfachen komplexen endlichdimensionalen Darstellung mit sich selbst sind
die skalaren Vielfachen der Identität.
Beweis. Jeder Eigenraum eines Endomorphismus einer Darstellung muß eine
Unterdarstellung sein. Jeder Eigenraum eines Endomorhismus einer einfachen
Vn