Analysis

17. RADONMASSE UND HAAR’SCHE MASSE 1165
von diesem Abschluß nach [0, 1] finden, die auf seinem Rand Null ist und
beim neutralen Element Eins. Dann dehnen wir diese stetige Funktion durch
Null aus auf die ganze Gruppe. Jetzt betrachten wir für jedes von Null verschiedene
g ∈ C + c (G) die Abbildung
µg : C + c (G) → R≥0
f ↦→ µg(f) = (f : g)/(w : g)
Diese Abbildungen sind zu verstehen als Approximationen unseres Haar’schen
Maßes, normalisiert durch die Bedingung µg(w) = 1. Sicher gilt für diese Approximationen:
1. µg(´xf) = µg(f);
2. µg(cf) = cµg(f) für beliebiges c ≥ 0;
3. µg(f1 + f2) ≤ µg(f1) + µg(f2),
und für beliebige von Null verschiedene f, g ∈ C + c (G) gelten die Abschätzungen
(f : w)(w : g)
(f : g)
(f : w) = ≥ µg(f) ≥
(w : g)
(w : f)(f : g) =
1
(w : f)
Wir zeigen sogar
Lemma 17.3.5. Seien f1, f2 ∈ C + c (G) und ε > 0 gegeben. So gibt es eine
offene Umgebung V = V (f1, f2, ε) von e ∈ G derart, daß für alle g ∈ C + c (V )\0
gilt
µg(f1) + µg(f2) ≤ µg(f1 + f2) + ε
Beweis. Zunächst einmal finden wir eine Funktion h ∈ C + c (G) mit h(z) = 1
∀z ∈ supp(f1 + f2). Diese Funktion halten wir für den folgenden Beweis
fest. Gegeben ein δ > 0, das am Schluß genügend klein gewählt werden
muß, setzen wir nun f = f δ = f1 + f2 + δh und betrachten die Funktionen
hν = h δ ν = fν/f, stetig fortgesetzt durch Null auf die Nullstellenmenge von
f. Wegen der in 10.7.13 gezeigten gleichmäßigen Stetigkeit der hν finden wir
eine offene Umgebung V = V (δ, f1, f2) des neutralen Elements mit |hν(z) −
hν(y)| < δ falls y ∈ zV für ν = 1, 2. Nehmen wir nun irgendein g ∈ C + c (G)
mit g = 0 und wählen irgendwelche ci ≥ 0 und xi ∈ G mit
f(z) ≤
n
cig(xiz) ∀z,
i=1