Analysis

4. ERSTE ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE 1427
und nach Zusammenfassen der Summen über ν in Exponentialreihen ergibt
sich
ak e (1+ε)λ(k) e −λ(k) =
ak e λ(k)ε < ∞
k
alias die Konvergenz der Dirichlet-Reihe bei z = −ε.
Beweis von 4.2.7. Daß die L-Reihe zum konstanten Charakter eine meromorphe
Fortsetzung hat wie behauptet, ergibt sich wie bereits bemerkt aus
der entsprechenden Aussage 4.1.7 für die Riemann’sche ζ-Funktion, die ja bis
auf endlich viele Faktoren durch dasselbe Eulerprodukt dargestellt wird. Daß
die anderen L-Reihen holomorphe Fortsetzungen haben, haben wir schon in
4.3.5 bemerkt. Um schließlich zu zeigen, daß die anderen Reihen keine Nullstellen
bei z = 1 haben, reicht es zu zeigen, daß das Produkt
ζm(z) =
L(z, χ)
einen Pol hat bei z = 1. Dieses Produkt ist nun für Re(z) > 1 natürlich
das Produkt über alle zu m teilerfremden Primzahlen p ∤ m der endlichen
Produkte
χ
χ
k
1 − χ(p)
pz −1 Nun beachten wir im Polynomring C[T ] die Zerlegung
(T g − 1) =
(T − ξ)
Bezeichnet ϕ = ϕ(m) = |(Z/mZ) × | die Ordnung unserer Gruppe und g(p)
die Ordnung des Elements ¯p in (Z/mZ) × und f(p) die Kardinalität der Restklassengruppe
nach seinem Erzeugnis 〈¯p〉, so daß also gilt ϕ = f(p)g(p), so
ξ g =1
finden wir
(T − χ(p)) = (T g(p) − 1) f(p)
χ
Indem wir auf beiden Seiten T ϕ wegteilen und T = p z einsetzen ergibt sich
χ
1 − χ(p)
pz −1 =
1 − 1
p g(p)z
−f(p)
Multiplizieren wir alle diese Produkte für p ∤ m, so erhalten wir offensichtlich
für Re(z) > 1 eine Darstellung von ζm(z) durch eine Dirichlet-Reihe der
Gestalt
ζm(z) =
akk −z
k≥1