Analysis

720 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
müßte seine Umkehrabbildung von Null verschiedene Vektoren um beliebig
große Faktoren verlängern und wäre mithin nie und nimmer stetig.
Übung 3.3.10. Gegeben eine beschränkte stetige Funktion f : R → C zeige
man, daß das Spektrum des durch Multiplikation mit f erklärten Operators
auf L p (R; dx) genau der Abschluß des Bildes f(R) ist. Was ist die Operatornorm
dieses Operators? Hinweis: 3.3.9.
Übung 3.3.11. Man zeige, daß für a ∈ R der durch (τaf)(x) = f(x − a)
gegebene Verschiebungsoperator τa : L 2 (R; dx) → L 2 (R; dx) als Spektrum
die Einheitskreislinie hat im Fall a = 0 und die einpunktige Menge {1} im
Fall a = 0. Hinweis: 2.1.13 und 3.3.10.
Übung 3.3.12. Man gebe einen Operator mit Spektrum {0} ∪ [1, 2] an.
Lemma 3.3.13. Gegeben eine Banachalgebra A ist für jedes Element x ∈ A
einer Norm x < 1 die Differenz (1 − x) invertierbar in A.
Beweis. Die absolut konvergente Reihe 1+x+x 2 . . . liefert nach II.7.5.16 ein
Inverses.
Lemma 3.3.14. Die invertierbaren Elemente einer Banachalgebra bilden
eine offene Teilmenge A × ⊂◦ A.
Beweis. Nach 3.3.13 besitzt das Einselement eine Umgebung aus invertierbaren
Elementen. Andererseits ist die Multiplikation mit jeder Einheit ein
Homöomorphismus von A auf sich selbst, der Einheiten zu Einheiten macht.
Das Lemma folgt.
Lemma 3.3.15. Das Spektrum eines Elements einer Banachalgebra ist stets
eine kompakte Teilmenge der komplexen Zahlenebene und ist enthalten in der
abgeschlossenen Kreisscheibe mit der Norm unseres Elements als Radius.
Beweis. Das Spektrum ist abgeschlossen, da sein Komplement offen ist nach
3.3.14. Es ist beschränkt, da für |λ| > x die Differenz λ − x = λ(1 − λ −1 x)
stets invertierbar ist nach 3.3.13, und dies Argument liefert auch gleichzeitig
die behauptete Schranke.
3.3.16. Der Spektralradius eines Elements x einer Banachalgebra A ist
definiert als
ρ(x) = ρA(x) = sup{|λ| | λ ∈ σA(x)}
Ist das Spektrum leer, so erhalten wir folglich −∞ als Spektralradius. Man
kann zeigen, daß dieser Fall nur bei der Banachalgebra A = 0 auftritt, aber
der Beweis dieser Tatsache liegt noch außerhalb unserer Reichweite. Das vorhergehende
Lemma 3.3.15 liefert die Abschätzung ρ(x) ≤ x. Das Beispiel
einer von Null verschiedenen nilpotenten Matrix zeigt, daß hier im Allgemeinen
keine Gleichheit gilt.