Analysis

15. WEITERES ZU LIEGRUPPEN 1143
Definition 15.1.8. Ist U ⊂ V eine Unterdarstellung, so gibt es genau eine
Darstellung von g auf V/U derart, daß can : V → V/U ein Homomorphismus
von Darstellungen wird. Man nennt V/U die Quotientendarstellung.
Bemerkung 15.1.9. Nehmen wir hier speziell W = k die triviale Darstellung,
so heißt V ∗ = Homk(V, k) die kontragrediente Darstellung zu V. Explizit
wird die Operation von g auf V ∗ gegeben durch die Formel
(xf)(v) = −f(xv) ∀x ∈ g, f ∈ V ∗ , v ∈ V
Offensichtlich ist dann die kanonische Abbildung V → (V ∗ ) ∗ ein Homomorphismus
von Darstellungen. Nehmen wir umgekehrt V = k die triviale Darstellung,
so ist auch die offensichtliche Abbildung W ∼ → Homk(k, W ) ein
Isomorphismus von Darstellungen.
Übung 15.1.10. Ist λ : g → k eine eindimensionale Darstellung einer Liealgebra
g, so wird die kontragrediente Darstellung gegeben durch −λ, in Formeln
(kλ) ∗ ∼ = k−λ.
15.2 Die adjungierte Darstellung
Beispiel 15.2.1. Die für jede eingebettete Liegruppe in ?? erklärte Abbildung
Ad : G → Aut(Lie G) ist eine Darstellung von G, genannt die adjungierte
Darstellung.
Definition 15.2.2. Für jede Liealgebra g betrachtet man die Abbildung
ad = adg : g → End g
x ↦→ ad x = [x, ]
Ausgeschrieben gilt also (ad x)(y) = [x, y] für alle y ∈ g. Die Jacobi-Identität
zeigt, daß wir so einen Homomorphismus von Liealgebren ad : g → gl(g)
erhalten. Man nennt (g, ad) die adjungierte Darstellung von g.
Bemerkung 15.2.3. Ist g die Liealgebra einer Liegruppe G, so ensteht die
adjungierte Darstellung der Liealgebra durch Differenzieren aus der adjungierten
Darstellung der Liegruppe.
15.3 Liegruppen
Übung 15.3.1. Man zeige, daß alle Elemente einer kompakten Untergruppe
von GL(n; C) diagonalisierbare Matrizen sind, deren sämtliche Eigenwerte
Norm 1 haben.