Analysis

1004 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Wir folgern die Proposition und betrachten dazu die Operation von W auf V ∗
wie in Bemerkung 7.6.14. Die Nullstellenmengen des W -stabilen Systems von
Vektoren {w es | w ∈ W, s ∈ S} ⊂ V bilden ein W -stabiles System von Hyperebenen
H in V ∗ , und unser Lemma besagt, daß keine dieser Hyperebenen
den “offenen positiven Quadranten”
A + :=
r∈S
trifft. Insbesondere ist dieser offene positive Quadrant eine maximale konvexe
Teilmenge im Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen aus H. Je
zwei verschiedene derartige maximale konvexe Teilmengen sind disjunkt nach
7.2.25 und mit A + ist auch wA + solch eine maximale konvexe Teilmenge für
alle w ∈ W . Schließlich folgt aus wA + = A + wieder mit Lemma 7.6.13 sofort
l(ws) > l(w) für alle s ∈ S alias w = id. Folglich sind die wA + mit w ∈ W
paarweise disjunkt. Ist nun S endlich und unsere Bilinearform auf V ein Skalarprodukt,
so induziert sie ein Skalarprodukt auf V ∗ und dieses ist unter
W invariant. Nun können wir aber in unserem endlichdimensionalen reellen
euklidischen Vektorraum V ∗ jeder offenen Teilmenge U ⊂◦ V ein Volumen
vol U ∈ [0, ∞] zuordnen und jede nichtleere offene Teilmenge hat positives
Volumen. Ist K ⊂ V ∗ die offene Einheitskugel, so ist sicher K ∩A + offen und
nicht leer und insbesondere ist vol(K)/ vol(K ∩ A + ) eine obere Schranke für
die Kardinalität von W und wir folgern |W | < ∞. Damit ist wiederum H
endlich und wir folgern mit 7.3.13, daß A + ein Alkoven ist für die endliche
Spiegelungsgruppe W ⊂ GL(V ∗ ). Aus den Definitionen folgt dann schließlich,
daß der Coxetergraph von W genau der Coxetergraph ist, von dem wir
ausgegangen waren.
Ergänzung 7.6.15. Betrachten wir für die dreielementige Menge S = {r, s, t}
die Coxetermatrix mit mr,s = 3, ms,t = 5 und mr,t = 2, so erhalten wir
nach ?? eine endliche orthogonale Spiegelungsgruppe im dreidimensionalen
Raum. Die Untergruppe der darin enthaltenen Drehungen enthält Elemente
der Ordnungen 5 und 3 und wir folgern damit auf andere Weise die in
?? besprochene Existenz einer endlichen Drehgruppe mit Elementen dieser
Ordnungen.
Erster Beweis von 7.6.11. Zunächst gilt es zu zeigen, daß alle Coxetergraphen
der Liste auf Seite 999 in der Tat positiv definit sind. Mit dem Hurwitz-
Kriterium ?? und Induktion sehen wir, daß wir nur zu zeigen brauchen, daß
die zugehörigen Coxetermatrizen positive Determinante haben. Diese Rechnungen
überlasse ich dem Leser. Im übrigen sind sie eh überflüssig in den
Fällen, in denen wir bereits eine endliche reelle Spiegelungsgruppe mit dem
H + r