Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1109
2. (c + 4) = m 2 für alle m ∈ 2Z + 1 und Vm = 0 ⇔ m ∈ 2Z + 1;
3. (c + 4) = n 2 für n ∈ Z und wir sind in genau einem der folgenden drei
Fälle:
(a) Vm = 0 ⇔ m ∈ {n + 2, n + 4, . . .};
(b) Vm = 0 ⇔ m ∈ {n, n − 2, . . . , −n};
(c) Vm = 0 ⇔ m ∈ {−n − 2, −n − 4, . . .}.
Daß es alle dieser Darstellungen auch tatsächlich gibt, haben wir bereits in
?? gesehen.
Satz 11.12.1. Sei G = SL(2; R) ⊃ K = SO(2) und g = LieC G.
1. Zu jeder irreduziblen Darstellung λ von K und jedem c ∈ C gibt es bis
auf Isomorphismus genau einen irreduziblen g-K-Modul V mit zentralem
Charakter c, in dem λ als K-isotypische Komponente vorkommt;
2. Alle irreduziblen g-K-Moduln lassen sich als Subquotienten, ja sogar
als Unterdarstellungen unserer Hauptseriendarstellungen realisieren.
11.13 Darstellungen als Moduln über der Maß-Algebra
Scheint mir zwar nett und natürlich, aber hier noch unnütz. Wird nötig bei
unitären Darstellungen.
Lemma 11.13.1. Sei V eine von-Neumann-Darstellung einer topologischen
Gruppe G. Für jedes kompakt getragene Maß µ ∈ Mc(G) ist die Operation
v ↦→ µv ein stetiger Endomorphismus von V .
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei µ ein endliches positives
Maß mit Träger im Kompaktum K ⊂ G. Da wir gleichmäßige Stetigkeit im
Zusammenhang mit uniformen Strukturen nicht diskutieren wollen, zeigen
wir die wesentliche Aussage hier explizit. Gegeben eine Umgebung U der
Null in V und g ∈ G und v ∈ V gibt es Umgebungen Wg von g und Ug von
v mit
WgUg ⊂ gv + U
Endlich viele Wg überdecken K. Bezeichnet UK den Schnitt der zugehörigen
Ug, so folgt aus w ∈ UK und k ∈ K schon kv−kw ∈ U +(−U). Ist nun C eine
abgeschlossene konvexe Umgebung der Null von V , so finden wir zunächst
eine Umgebung U der Null mit U + (−U) ⊂ C und dann eine Umgebung UK
von v mit kv − kw ∈ C für alle k ∈ K und w ∈ UK. Damit folgt dann
µv − µw ∈ µ(G)C