Analysis

1398 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
h mithilfe von III.3.2.15 als gleichmäßigen Grenzwert einer Folge von trigonometrischen
Polynomen schreiben, erkennen wir, daß im allgemeinen ˆ h auf
der ganzen abgeschlossenen Einheitskreisscheibe ein gleichmäßiger Grenzwert
stetiger Funktionen ist. Das zeigt, daß ˆ h auch im allgemeinen stetig ist auf
der ganzen abgeschlossenen Einheitskreisscheibe.
Übung 3.1.14. Man zeige durch direkte Abschätzungen, daß eine stetige Funktion
auf dem Einheitskreis durch ihre Poisson-Transformierte stetig auf die
ganze Einheitskreisscheibe fortgesetzt wird. Dies Argument hat den Vorteil,
daß es sich ohne Schwierigkeiten auf höhere Dimensionen verallgemeinern
läßt. Im Übrigen verallgemeinern sich alle hier für harmonische Funktionen
bewiesenen Aussagen ziemlich direkt auf den Fall harmonischer Funktionen
auf offenen Teilmengen eines beliebigen R n .
Übung 3.1.15. Man zeige, daß für U ⊂◦ C wegweise einfach zusammenhängend
eine stetige komplexwertige Funktion U → C harmonisch ist genau dann,
wenn sie als Summe einer holomorphen Funktion mit einer antiholomorphen
Funktion dargestellt werden kann.
3.2 Reihenentwicklung des Kotangens
Satz 3.2.1 (Summe der (z−k) −1 ). Für alle nicht ganzen komplexen Zahlen
z ∈ C\Z gilt im Sinne absoluter Konvergenz
1
z +
∞
k=1
1 1
+ = π cot(πz)
z − k z + k
3.2.2. Die Summe der (z − k) −1 über alle ganzen k konvergiert nicht absolut,
aber fassen wir wie angedeutet vor dem Summieren jeweils gegenüberliegende
Terme zusammen, so entsteht eine absolut konvergente Reihe, die auf C\Z
kompakt konvergiert. “Vernünftiges” anderes Zusammenzufassen von jeweils
einem positiven und einem negativen Term liefert dasselbe Ergebnis, unsere
Summe hat ja denselben Wert bei z und bei z + k. Formeln für die Summen
der (z − k) −a bei beliebigem ganzen a ≥ 1 gewinnen wir aus unserem Satz
leicht durch Ableiten. Allerdings stützt sich der hier gegebene Beweis von
3.2.1 auf Proposition 3.2.4, die den Fall a = 2 beschreibt, so daß wir diese
Proposition auf andere Weise herleiten müssen.
Beweis. Leiten wir beide Seiten der behaupteten Gleichung nach z ab, so
ergibt sich die Gleichung 3.2.4, die wir im Anschluß zeigen. Die Differenz
beider Seiten ist also eine Konstante. Da beide Seiten ungerade Funktionen
von z sind, ist diese Konstante Null.