Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 671
Beweis. Man betrachtet die periodische Funktion F (t) =
n∈Z f(t + n).
Nach II.5.1.14 ist sie stetig differenzierbar. Die linke Seite der Poisson’schen
Summationsformel ist F (0). Bilden wir dahingegen die Fourierreihe von F,
so können wir F darstellen als F (t) =
n∈Z cn e2π i nt mit
cn =
1
F (t) e
0
−2π i nt 1
dt = f(t + m) e
0
m∈Z
−2π i nt dt =
∞
=
f(t) e
−∞
−2π i nt dt = f ∧ (n)
und nach III.3.3.7 erhalten wir auch F (0) =
n∈Z cn =
n∈Z f ∧ (n).
Ergänzende Übung 2.1.36. Für g ∈ L 1 (R) mit g|(−∞,0] = 0 gibt es eine holomorphe
Funktion g ∧ auf der komplexen unteren Halbebene Im z < 0, die
die auf R = {z | Im z = 0} definierte Fouriertransformierte g ∧ stetig fortsetzt.
Im übrigen kann man im Rahmen der Funktionentheorie VIII.1.8.8
zeigen, daß diese stetige Fortsetzung sogar eindeutig ist. Die auf der rechten
Halbebene {z | Re(z) ≥ 0} definierte Funktion t ↦→ g ∧ (− i t) nennt man die
Laplace-Transformierte von g, vergleiche auch VIII.4.1.13.
2.2 Abstrakte Fouriertransformation
2.2.1. Getreu meiner Devise, durch die Verallgemeinerung vom Fall des R n
auf abstrakte endlichdimensionale reelle Vektorräume nach besserem Verständnis
zu suchen, diskutiere ich nun, welche Gestalt die Fouriertransformation
in dieser Allgemeinheit annimmt. Insbesondere hoffe ich, daß dadurch
die Bedeutung des merkwürdigen Vorfaktors (2π) −n/2 aus unserer ursprünglichen
Definition 2.1.1 klarer wird. Es scheint mir am natürlichsten,
die Fouriertransformation in dieser Allgemeinheit als eine Vorschrift aufzufassen,
die endliche Maße auf einem Vektorraum transformiert in Funktionen
auf seinem Dualraum oder, noch präziser, in Funktionen auf seinem Charakterraum.
Diese Formulierung hat über ihre Unabhängigkeit von der Wahl
von Koordinaten hinaus den Vorteil, sich auf beliebige “kommutative lokal
kompakte Hausdorff’sche topologische Gruppen” verallgemeinern zu lassen,
und diese Verallgemeinerung umfaßt dann auch die Theorie der Fourierreihen
1.2.13.
Definition 2.2.2. Bezeichne S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} die Kreislinie. Gegeben
ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum V nennt man einen stetigen
Gruppenhomomorphismus χ : V → C × einen Charakter und einen stetigen
Gruppenhomomorphismus χ : V → S 1 einen unitären Charakter von V.