Analysis

1280 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
wo wir dA : U × X → X, (x, v) ↦→ (dxA)(v) meinen. Insbesondere haben wir
(d(0,κ)F )(0, α) = ˙α. Nun ist C 1 0(I, X) → C(I, X), α ↦→ ˙α eine stetige lineare
Bijektion mit stetiger Umkehrung, eben dem Integrieren. Die Bedingungen
des Satzes über implizite Funktionen sind also erfüllt und liefern uns die
Existenz eines Paars (A1, B1) mit 0 ∈ A1 ⊂◦ R, κ ∈ B1 ⊂◦ C 1 p(I, U) derart, daß
es für alle τ ∈ A1 genau ein γτ ∈ B1 gibt mit F (τ, γτ) = 0 alias mit γτ einer
Integralkurve des reskalierten Vektorfelds τA. Daraus folgert man leicht die
Aussage des Lemmas.
Übung 4.2.4. Gegeben reelle normierte Räume X, Y und eine offene Teilmenge
U ⊂◦ X und eine stetig differenzierbare Abbildung A : U → Y ist für jeden
kompakten Raum I auch die induzierte Abbildung (A◦) : C(I, U) → C(I, Y )
stetig differenzierbar und ihr Differential an einer Stelle γ ∈ C(I, U) wird
gegeben durch
dγ(A◦) : C(I, X) → C(I, Y )
α ↦→ (dA) ◦ (γ, α)
Hier meint dA die Abbildung (x, v) ↦→ (dxA)(v) von U × X nach Y und
wir verwenden die offensichtliche Identifikation des Raums C(I, X) mit dem
Richtungsraum des affinen Raums C(I, X). Des weiteren verwenden wir auf
unseren Räumen von Abbildungen die Norm der gleichmäßigen Konvergenz.
Satz 4.2.5 (Picard-Lindelöf, lokal lipschitzstetiger Fall). Gegeben ein
lokal lipschitzstetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen
reellen Raums gibt es zu jedem Anfangswert eine größte Integralkurve.
Sie hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall, und ist dieses
Intervall nach oben beschränkt, so verläßt die fragliche Integralkurve für positive
Zeiten jedes Kompaktum aus unserer offenen Teilmenge irgendwann
einmal endgültig.
Beweis. Zunächst zeigen wir, daß je zwei Integralkurven γ, ψ zu demselben
Punkt p mit demselben Definitionsintervall I übereinstimmen. Wir zeigen
dazu, daß sie auf I ∩ [0, ∞) übereinstimmen, für I ∩ (−∞, 0] argumentiert
man analog. Stimmen aber unsere Wege auf I ∩ [0, ∞) nicht überein, so wäre
das Supremum s über alle t ∈ I mit γ|[0, t] = ψ|[0, t] nicht das Supremum
von I. Wegen der Stetigkeit gälte γ(s) = ψ(s), und nach der Eindeutigkeitsaussage
im Lemma muß dann auch gelten γ|[0, t + η] = ψ|[0, t + η] für ein
positives η im Widerspruch zur Wahl von s. Folglich stimmen je zwei Integralkurven
zu p auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche überein und es
gibt genau eine größte Integralkurve zu p, deren Definitionsbereich eben die