Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 489
bis auf “Zeitverschiebung” die einzige maximale Integralkurve. Zum Beispiel
ist a(x) = x ein stetiges Vektorfeld ohne Nullstellen auf U = R>0 und G(x) =
log x ist eine Stammfunktion von 1/x und jede maximale Integralkurve ist
von der Gestalt γ : R → R>0, γ(t) = exp(t + c) mit einer Konstanten c ∈ R.
Übung 5.1.15 (Größere Felder haben schnellere Integralkurven). Gegeben
U ⊂ R halboffen und a, b : U → R stetig ohne Nullstelle mit a ≤ b
und I ⊂ R ein halboffenes Intervall und γ, κ : I → U differenzierbar mit
˙γ(t) = a(γ(t)) und ˙κ(t) = b(κ(t)) für alle t ∈ I folgt aus γ(t0) ≤ κ(t0) für ein
t0 ∈ I bereits dieselbe Aussage für alle t ∈ I mit t ≥ t0.
Beispiel 5.1.16 (Spezielle eindimensionale Felder mit Nullstellen). Gegeben
ein stetiges Vektorfeld mit Nullstellen auf einer offenen Teilmenge eines
eindimensionalen Raums liegen die Verhältnisse komplizierter als in 5.1.14.
Wir suchen etwa für α ∈ R Integralkurven des Vektorfelds a(x) = x α auf R>0
alias auf einem halboffenen Intervall I ⊂ R definierte Funktionen γ : I → R>0
mit
˙γ(t) = (γ(t)) α ∀t ∈ I
Unsere allgemeine Theorie aus 5.1.14 sagt uns, daß das gerade die Umkehrfunktion
zu Stammfunktionen von x−α sind. Den Fall α = 1 kennen wir zur
Genüge, im Fall α = 1 erhalten wir als Stammfunktion G(x) = x1−α /(1 − α).
∼
Im Fall α > 1 induziert nun G eine Bijektion G : R>0 → R0 → R>0, aber die Umkehrfunktion wird jedesmal
durch dieselbe Formel gegeben und wir erhalten die Integralkurven
γ(t) = ((1 − α)t) (1−α)−1
Im Fall α = 2 etwa ergibt sich γ(t) = −1/t und unsere Integralkurve “läuft
in endlicher Zeit nach +∞, braucht aber, wenn wir die Zeit rückwärts laufen
lassen, unendlich lange bis zum Ursprung”. Dasselbe gilt in allen Fällen mit
α > 1. Im Fall α = 0 dahingegen ergibt sich γ(t) = t und unsere Integralkurve
“läuft für alle positiven Zeiten, braucht aber, wenn wir die Zeit rückwärts
laufen lassen, nur endlich viel Zeit bis zum Ursprung”. Dasselbe gilt in allen
Fällen mit α < 1. In den Fällen mit 0 ≤ α können wir unser Vektorfeld
stetig auf R fortsetzen durch die Vorschrift a(x) = |x| α und für 0 < α hat
diese Fortsetzung eine Nullstelle bei Null. In den Fällen 0 < α < 1 gibt es
nun auch Integralkurven, die in endlicher Zeit aus dem Negativen nach Null
laufen und dort eine Weile stehenbleiben bevor sie ins Positive weiterlaufen.
Erklären wir etwa auf R ein stetiges Vektorfeld durch a(x) = 3√ x 2 , so ist
γ(t) = t 3 /27 ein Integralkurve, aber auch die Abbildung ψ : R → R, die