Analysis

428 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Kraftfeld auf den Rand einer kleinen Kreisscheibe wirken, die an einer Stelle
unserer Ebene drehbar befestigt ist, so beginnt sie sich zu drehen. Drehsinn
sowie die Stärke der drehenden Kraft entsprechen Vorzeichen und Betrag
der skalaren Rotation. Läßt man im räumlichen Fall dieses Kraftfeld auf die
Oberfläche eines kleinen Balls wirken, den man an einer Stelle p hineinhält,
so beginnt er sich auch zu drehen. Die Drehachse ist dann die von der Rotation
unseres Vektorfeldes bei p erzeugte Gerade, und der Drehsinn sowie
die Stärke der drehenden Kraft entsprechen Richtung und Länge der Rotation.
In dieser Terminologie formuliert besagt der vorstehende Satz in R 2
und R 3 insbesondere, daß jedes rotationsfreie Vektorfeld auf einer einfach
zusammenhängenden offenen Menge der Gradient einer Funktion ist alias in
physikalischer Terminologie ausgedrückt ein Potential besitzt.
Beweis. 4⇒3 ergibt sich unmittelbar aus Satz 3.6.1, nach dem jedes stetige
Kovektorfeld das Differential einer Funktion ist, bei dem alle Wegintegrale
über geschlossene Integrationswege verschwinden. 3⇒2 ist offensichtlich. Um
2⇒1 zu zeigen, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit X = R n
annehmen. Die Implikation ist dann auch offensichtlich, für ω = ui dxi =
df gilt in der Tat
∂ui
∂xj
= ∂2 f
∂xj∂xi
= ∂2 f
∂xi∂xj
= ∂uj
∂xi
Im übrigen sieht man auch leicht ein, daß die dp(df) entsprechende symmetrische
Bilinearform gerade das Doppelte des “quadratischen Anteils der Taylorentwicklung
der Funktion f um p”ist. Wie dem auch sei, bleibt nur 1⇒4 zu
zeigen. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit weiter X = R n annehmen.
Wir beginnen unseren Beweis von 1⇒4, indem wir einen Spezialfall
von 1⇒3 als Proposition formulieren und unabhängig zeigen.
Lemma 3.6.13. Ist A ⊂◦ R n eine offene Kugel und ω darauf ein stetig differenzierbares
geschlossenes Kovektorfeld, so ist ω das Differential einer Funktion
f : A → R.
3.6.14. Ich gebe dafür zwei Beweise: Erst einen sehr kurzen mehr rechnerischen
Beweis, und im Anschluß einen etwas längeren mehr konzeptionellen.
Rechnerischer Beweis. Wir verwenden unsere Notation 3.3.2. Wir dürfen ohne
Beschränkung der Allgemeinheit 0 ∈ A annehmen, bezeichnen nun wieder
mit x einen Vektor und betrachten die Funktion f : A → R gegeben durch
f(x) =
x
0
ω =
1
0
ωtx(x) dt =
1
0
n
uj(tx) · xj dt
j=1