Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 737
Diagramm durch die Verknüpfung des mit ϕv bezeichneten Pfeils mit dem
darüberstehenden Pfeil dargestellt ist, der eh einen Isomorphismus darstellt.
Diese kanonischen Einbettungen schließlich verwenden wir dann, um auch
das Einsetzen unseres Operators in meßbare beschränkte Funktionen f zu
erklären durch die Vorschrift f(T )v := ϕv(f), wie wir im folgenden genauer
ausführen werden.
Definition 3.7.2 (Anwenden meßbarer Funktionen auf Operatoren).
Gegeben ein selbstadjungierter Operator T auf einem Hilbertraum H und
f : σ(T ) → C beschränkt und meßbar erklären wir eine Abbildung
f(T ) : H → H
durch die Vorschrift f(T )v := ϕv(f) für ϕv : L 2 (R; µv) ↩→ H die kanonische
Einbettung zu v im Sinne von 3.2.15. Diese Abbildung ist wohldefiniert, da
nach 3.4.15 das Spektralmaß µv jedes Vektors v ∈ H auf dem Komplement
des Spektrums von T verschwindet. Schreiben wir f(T ) für eine meßbare
Abbildung f : R → C, so setzen wir implizit voraus, daß f|σ(T ) beschränkt
sein soll, und meinen das Anwenden dieser Einschränkung auf T.
3.7.3. Sobald wir den Spektralsatz zur Verfügung haben, können wir f(T )
auch als f(T ) = f(x)ΦT 〈x〉 schreiben, wie in 3.7.8 ausgeführt wird, und
dann die Aussagen des anschließenden Lemmas 3.7.4 aus 3.6.23, 3.6.18 und
3.6.22 folgern. Das anschließende Lemma ist also nur für den Beweis des Spektralsatzes
von Bedeutung. Das Anwenden geeigneter Funktionen auf Operatoren
ist auch als Funktionalkalkül bekannt.
Lemma 3.7.4 (Eigenschaften des Funktionalkalküls). Sei T ein selbstadjungierter
Operator auf einem Hilbertraum H und sei f : σ(T ) → C meßbar
und beschränkt.
1. Ist f stetig, so stimmt unser eben in 3.7.2 definiertes f(T ) mit unserem
in 3.4.9 durch polynomiale Approximation definierten f(T ) überein.
2. Die Abbildung f(T ) ist linear und stetig und für ihre Operatornorm gilt
f(T ) ≤ f∞.
3. Die adjungierte Abbildung zu f(T ) ist f(T ) ∗ = ¯ f(T ).
4. Ist g : σ(T ) → C eine weitere meßbare und beschränkte Abbildung, so
haben wir (f · g)(T ) = f(T ) ◦ g(T ).
5. Konvergiert eine Folge fn meßbarer und simultan beschränkter Funktionen
punktweise gegen f, so gilt fn(T )v → f(T )v für alle v ∈ H.