Analysis

1228 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
weiter canb : X ∼ → X ∗ die durch unsere Bilinearform gegebene Identifikation
und K ∗ : X ∗ → R die darunter zu unserem ursprünglichen K verwandte
Funktion. So ist der symplektische Gradient von K ∗ ◦ pr 2 auf X × X ∗ unter
id × canb verwandt zum tautologischen Vektorfeld τ auf X × X, in Formeln
id × canb : X × X ∼ → X × X ∗
τ ❀ grad ω(K ∗ ◦ pr 2)
Hinweis: Es mag das Einfachste sein, orthogonale Koordinaten einzuführen
und stur zu rechnen.
Übung 3.6.5. Die vorhergehende Übung 3.2.3 kann wie folgt mit Einheiten
angereichert werden: Haben wir eindimensionale Räume A und B gegeben
und nimmt unsere symmetrische nichtausgeartete Bilinearform Werte in B
an, so haben wir canb : X ⊗ A ∼ → X ∗ ⊗ A ⊗ B. Unsere Abbildung K :
X → B liefert eine Abbildung K : X ⊗ A → B ⊗ A ⊗2 und ist unter canb
verwandt zu einer Abbildung K ∗ : X ∗ ⊗ A ⊗ B → B ⊗ A ⊗2 . Nun haben wir
auf X ×( X ∗ ⊗A⊗B) einen kanonische A⊗B-wertige symplektische Struktur
ω. Das Differential d(K ∗ ◦ pr 2) ist ein Kovektorfeld mit Werten in B ⊗ A ⊗2
auf X × ( X ∗ ⊗ A ⊗ B) und der symplektische Gradient grad ω(K ∗ ◦ pr 2) ist ein
A-wertiges Vektorfeld, das unter id × canb verwandt ist zum tautologischen
A-wertigen Vektorfeld τ auf X × ( X ⊗ A).
Übung 3.6.6. Wir setzen Übung 3.2.3 fort. Sei s : X × X → R eine weitere
nichtausgeartete symmetrische Bilinearform. Gegeben eine differenzierbare
Funktion V : X → R können wir ihren Gradienten grad s V : X → X
bilden und dazu auf dem Tangentialbündel TX = X × X das Vektorfeld κ :
(x, v) ↦→ (0, −(grad s V )(x)). Ich behaupte, daß es unter id × cans verwandt
ist zum symplektischen Gradienten von V ◦ pr 1 auf X × X ∗ , in Formeln
id × cans : X × X ∼ → X × X ∗
κ ❀ grad ω(V ◦ pr 1)
Um das zu zeigen, müssen wir nur prüfen, daß gilt
(d(x,v)(id × cans))(κ(x, v)) = (grad ω(V ◦ pr 1))(x, cans(v))
Auf der linken Seite steht (0, cans(−(grad s V )(x))) = (0, − dxV ). Auf der
rechten Seit steht das eindeutig bestimmte Element (v, ξ) ∈ X × X ∗ mit
der Eigenschaft ω((v, ξ), (w, ζ)) = (dxV )(w) für alle (w, ζ) ∈ X × X ∗ . Dies
Element ist aber offensichtlich gerade (v, ξ) = (0, − dxV ), was zu zeigen war.
3.6.7. Von hier ausgehend ist es nicht mehr schwer, krummlinige Koordinaten
einzuführen. Interessiert man sich für eine Bewegung unter Zwangsbedingungen,
sagen wir auf einer n-dimensionalen Untermannigfaltigkeit M ⊂ R 3N ,